Przykład nieprzeliczalnej przestrzeni metrycznej sigma-zwartej, ale nie lokalnie zwartej

[FasolkaBernoulliego]

Cześć,

jak w temacie - czy ktoś zna przykład nieprzeliczalnej przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ \sigma}\)-zwartej, która nie jest lokalnie zwarta?

Nie mam już siły nad tym myśleć. Umiem podać przykłady przestrzeni po wyłączeniu każdego z warunków, ale nie takiej, która spełnia wszystkie.

Np.
metryczna, przeliczalna, \(\displaystyle{ \sigma}\)-zwarta, nie lokalnie zwarta to może być \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) ze "zwykłą" topologią,
metryczna, nieprzeliczalna, \(\displaystyle{ \sigma}\)-zwarta, lokalnie zwarta to może być \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) ze "zwykłą" topologią,
metryczna, przeliczalna, nie \(\displaystyle{ \sigma}\)-zwarta, nie lokalnie zwarta to może być \(\displaystyle{ \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}}\) ze "zwykłą" topologią,
niemetryczna, nieprzeliczalna, \(\displaystyle{ \sigma}\)-zwarta, nie lokalnie zwarta to może być uproszczony kwadrat Arensa (znalazłem na

Kod: Zaznacz cały

https://topology.jdabbs.com/spaces/S000073

)

Byłbym ogromnie wdzięczny za wszelką pomoc, np. jakąś wskazówkę.

Pozdrawiam!

[Dasio11]

Np.
metryczna, przeliczalna, \(\displaystyle{ \sigma}\)-zwarta, nie lokalnie zwarta to może być \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) ze "zwykłą" topologią,

Skoro brakuje tylko nieprzeliczalności, to może wystarczy dorzucić jakiś przedział domknięty? ;>

[FasolkaBernoulliego]

Faktycznie, rozwiązanie jest porażająco proste. Muszę chyba doprecyzować - chciałbym, żeby ta przestrzeń metryczna była \(\displaystyle{ \sigma}\)-zwarta, ale żeby istniało nieprzeliczalnie wiele punktów, dla których nie znajdę zwartego otoczenia.

Tutaj chyba pasowałoby na tej samej zasadzie \(\displaystyle{ \mathbb{Q}^2 \cup \Big( [0,1] \times [0,1] \Big)}\)?

Dodano po 2 godzinach 16 minutach 10 sekundach:
A jakiś przykład, żeby ta przestrzeń była nigdzie lokalnie zwarta (nowhere locally compact, nie wiem czy to tak się po polsku nazywa)?

Czy tutaj mogłoby być \(\displaystyle{ \mathbb{Q} \times [0,1]}\)?

[Dasio11]

Dwa razy tak.

[FasolkaBernoulliego]

Dzięki wielkie!