Własność Baire'a

[malwinka1058]

Przyjmuję następującą definicję własności Baire'a:
Zbiór \(\displaystyle{ A}\) posiada własność Baire'a, jeśli można go przedstawić w postaci \(\displaystyle{ A=G\div P}\), gdzie \(\displaystyle{ G}\) jest zbiorem otwartym, a \(\displaystyle{ P}\) zbiorem pierwszej kategorii.

W jaki sposób pokazać równoważność poniższej definicji?
Zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma własność Baire'a, jeśli istnieje zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) taki, że \(\displaystyle{ A\div U}\) jest zbiorem pierwszej kategorii.

[Jan Kraszewski]

Ja jednak wole różnicę symetryczną zapisywać tak: \(\displaystyle{ \Delta}\).

Skorzystaj z łączności i przemienności różnicy symetrycznej i z tego, że \(\displaystyle{ A\Delta A=\emptyset, A\Delta\emptyset=A.}\)

Jeśli np. wiesz, że \(\displaystyle{ A=G\Delta P}\), to \(\displaystyle{ A\Delta G=(G\Delta P)\Delta G=P\Delta(G\Delta G)=...}\)

JK

[malwinka1058]

Nadal niestety nie bardzo wiem, jak przejść z faktu, że istnieje zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) taki, że \(\displaystyle{ A\Delta U}\) jest pierwszej kategorii do tego, że istnieje przedstawienie zbioru \(\displaystyle{ A}\) w postaci różnicy symetrycznej pewnego zbioru otwartego i zbioru pierwszej kategorii.

\(\displaystyle{ A\Delta U=A\Delta (U\Delta \emptyset)=\emptyset \Delta (A\Delta U)}\) - jest to różnica symetryczna zbioru otwartego i zbioru pierwszej kategorii, jednak nie jest to przedstawienie zbioru \(\displaystyle{ A}\)

[Jan Kraszewski]

Załóżmy, że istnieje zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) taki, że zbiór \(\displaystyle{ A\Delta U=P}\) jest pierwszej kategorii. Wówczas

\(\displaystyle{ A=A\Delta \emptyset=A\Delta (U\Delta U)=(A\Delta U)\Delta U=P\Delta U}\)

i już masz swoje szukane przedstawienie.

JK

PS
Oczywiście, żeby to zobaczyć bierzesz równość \(\displaystyle{ A\Delta U=P}\) i obustronnie traktujesz ją różnicą symetryczną z \(\displaystyle{ U}\). Powyższy zapis to już uporządkowana "wersja oficjalna".

[malwinka1058]

Dziękuję bardzo

Mam jeszcze jedną definicję, której równoważność muszę pokazać:

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma własność Baire'a wtw. gdy można go przedstawić w postaci
\(\displaystyle{ A=(G\setminus P)\cup R}\)
gdzie \(\displaystyle{ G}\) jest zbiorem otwartym, a \(\displaystyle{ P, R}\) zbiorami pierwszej kategorii.

Niestety nie mam pomysłu, jak wykonać dowód implikacji mówiącej, że z tej definicji wynika przyjęta powyżej.

[Jan Kraszewski]

Uzasadnij, że \(\displaystyle{ G\Delta((G \setminus P)\cup R) \subseteq P\cup R}\) i skorzystaj z tego, odwołując się do drugiej z wcześniejszych definicji.

JK

[malwinka1058]

W jaki sposób to uzasadnić? Rozpisywać różnicę symetryczną: \(\displaystyle{ A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}\) lub \(\displaystyle{ A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}\)?

[Jan Kraszewski]

A po co? Zrób normalny dowód: ustal dowolne \(\displaystyle{ x\in G\Delta((G \setminus P)\cup R)}\) i (zgodnie z definicją różnicy symetrycznej) rozważ dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ x\in G}\) i \(\displaystyle{ x\notin (G \setminus P)\cup R}\)
2. \(\displaystyle{ x\notin G}\) i \(\displaystyle{ x\in (G \setminus P)\cup R}\)

To są proste wnioskowania, które powinnaś znać ze Wstępu do matematyki.

JK

PS
Możesz też rozpisywać, ale obawiam się, że zakopiesz się w znaczkach...