Dowód w przestrzeni metrycznej

[Dasio11]

W zasadzie rozumujesz tak:

"Każde otoczenie \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) niepusto kroi się z \(\displaystyle{ A}\) lub niepusto kroi się z \(\displaystyle{ B}\). Zatem każde otoczenie \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) niepusto kroi się z \(\displaystyle{ A}\) lub każde otoczenie \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) niepusto kroi się z \(\displaystyle{ B}\). "

Ale schemat tego rozumowania:

\(\displaystyle{ (\forall z) \big[ \varphi(z) \vee \psi(z) \big] \implies (\forall z) \, \varphi(z) \vee (\forall z) \, \psi(z)}\)

nie jest tautologią rachunku kwantyfikatorów, więc rzeczone wynikanie nie zachodzi samo przez się.

[Gods_Eater]

W zasadzie rozumujesz tak:

"Każde otoczenie \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) niepusto kroi się z \(\displaystyle{ A}\) lub niepusto kroi się z \(\displaystyle{ B}\). Zatem każde otoczenie \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) niepusto kroi się z \(\displaystyle{ A}\) lub każde otoczenie \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) niepusto kroi się z \(\displaystyle{ B}\). "

Ale schemat tego rozumowania:

\(\displaystyle{ (\forall z) \big[ \varphi(z) \vee \psi(z) \big] \implies (\forall z) \, \varphi(z) \vee (\forall z) \, \psi(z)}\)

nie jest tautologią rachunku kwantyfikatorów, więc rzeczone wynikanie nie zachodzi samo przez się.

Więc jak powinienem to poprawnie zapisać? Rozumiem, co masz na myśli. Wedle mojego rozumowania skoro każde otoczenie \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) niepusto kroi się z jednym lub drugim zbiorem, to każde otoczenie będzie się kroić z jednym zbiorem lub każde otoczenie będzie się kroić z drugim zbiorem - ale przecież może być tak, że jakieś otoczenie \(\displaystyle{ U_1}\) będzie się kroiło z \(\displaystyle{ A}\), ale nie będzie się kroić z \(\displaystyle{ B}\). Analogicznie można by znaleźć takie otoczenie \(\displaystyle{ U_2}\), że będzie się kroiło z \(\displaystyle{ B}\), ale nie będzie się kroiło z \(\displaystyle{ A}\). Wtedy wszystkie otoczenia niepusto kroją się z sumą zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), ale nie wszystkie otoczenia kroją się z \(\displaystyle{ A}\) lub \(\displaystyle{ B}\).

[Dasio11]

Właśnie dlatego czysta logika nie wystarcza - niezbędny jest argument odwołujący się do topologii.

Jak więc to zrobić? Początek jest dobry:

Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \not\subset \overline{A} \cup \overline{B}}\).
Wówczas weźmy sobie taki element \(\displaystyle{ x \in \overline{A \cup B}}\), który należy do domknięcia zbioru \(\displaystyle{ A \cup B}\), ale nie należy do \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B}}\).

Dalej skorzystaj z założenia, że \(\displaystyle{ x \notin \overline{A} \cup \overline{B}}\).

[Gods_Eater]

Hmm, to może tak:
Skoro istnieje taki element, że \(\displaystyle{ x \not\in \overline{A} \cup \overline{B}}\), to równoważnie oznacza to, że bez straty ogólności możemy wybrać otoczenie \(\displaystyle{ U_1}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) takie, że \(\displaystyle{ U_1 \cap A = \emptyset}\). W sposób analogiczny możemy znaleźć otoczenie \(\displaystyle{ U_2}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) takie, że \(\displaystyle{ U_2 \cap B = \emptyset}\). Wobec tego, jeśli weźmiemy otoczenie \(\displaystyle{ U_1 \cap U_2}\) punktu \(\displaystyle{ x}\), to zarówno \(\displaystyle{ U_1 \cap U_2 \cap A = \emptyset }\) oraz \(\displaystyle{ U_1 \cap U_2 \cap B = \emptyset}\). Z drugiej strony mamy, że dla dowolnego otoczenia punktu \(\displaystyle{ x}\), a więc i dla otoczenia \(\displaystyle{ U_1 \cap U_2}\) mamy \(\displaystyle{ (U_1 \cap U_2) \cap (A \cup B) \neq \emptyset}\).
Po przekształceniu otrzymujemy, że \(\displaystyle{ (U_1 \cap U_2 \cap A) \cup (U_1 \cap U_2 \cap B) \neq \emptyset}\), co jest sprzeczne z tym, że \(\displaystyle{ U_1 \cap U_2 \cap A = \emptyset }\) oraz \(\displaystyle{ U_1 \cap U_2 \cap B = \emptyset}\), a więc otrzymaliśmy sprzeczność, z założeniem, że \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \not \subset \overline{A} \cup \overline{B}}\). Wobec tego \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}}\).

Co do otoczenia \(\displaystyle{ U_1 \cap U_2}\) - skorzystałem z tego, że otoczenie \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) to taki zbiór, że \(\displaystyle{ x \in U}\). A tutaj oczywiście nasz element \(\displaystyle{ x}\) należy zarówno do \(\displaystyle{ U_1}\) jak i do \(\displaystyle{ U_2}\). Ponadto jeśli dobrze rozumuję, to oba te zbiory są zbiorami otwartymi i należą do topologii tej przestrzeni, a zgodnie z definicją skończona ilość przecięć zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

[Dasio11]

Jest dobrze.

[Gods_Eater]

Jest dobrze.

W porządku. Bardzo, ale to bardzo Ci dziękuję za Twoje wyjaśnienia oraz wskazówki - myślę, że dostatecznie mi to rozjaśniło samą definicję