Rozszerzona prosta rzeczywista. Sprawdzenie.

[Zaratustra]

Dzień dobry ponownie. Jest taka (chyba ważna/rozpoznawalna) przestrzeń metryczna \(\displaystyle{ (\overline{\mathbb{R}},d)}\), gdzie \(\displaystyle{ d(x,y):=|f(x)-f(y)|}\)
\(\displaystyle{ f(x):=\begin{cases}\frac{x}{1+|x|}, & \text{ dla }x\in\mathbb{R};\\ 1, & \text{ dla }x=+\infty;\\ -1, & \text{ dla }x=-\infty.\end{cases}}\)

Czy dobrze wyznaczyłem w tej przestrzeni:
1. kulę domkniętą:
\(\displaystyle{ \overline{K}\left(-\infty,\frac{1}{2}\right)=\left\{x\in\overline{\mathbb{R}}\colon d(x,-\infty)\leq\frac{1}{2}\right\}=}\)
\(\displaystyle{ =\left\{x\in\overline{\mathbb{R}}\colon f(x)\in\left[-1,-\frac{1}{2}\right]\right\}=\{-\infty\}\cup\{x\in\mathbb{R}\colon -\infty<x<-1\}=[-\infty,-1)}\).
2. odległość między zbiorami \(\displaystyle{ A=(-\infty,0), B=[2,+\infty]}\):
\(\displaystyle{ \text{dist}(A,B)=\inf\{d(x,y)\colon -\infty<x<0, \; 2\leq y\leq +\infty\}=-3}\)
bo tak oszacowałem wartości:
\(\displaystyle{ d(x,+\infty)\in[-2,0]}\) oraz \(\displaystyle{ d(x,y)\in(-3,1)}\) dla \(\displaystyle{ x\in(-\infty,0), y\in[2,+\infty]}\)?

[a4karo]

A) prawie dobrze (pomyśl co z `-1`), choć jakieś argumenty na uzasadnienie kolejnych równości by się przydały.
B) odległość nie może być ujemna

Wsk zauważ że `f` rośnie.

[Zaratustra]

Lol, dobra - \(\displaystyle{ d\colon X^2\to [0,+\infty)}\) - jeśli \(\displaystyle{ d}\) jest metryką na \(\displaystyle{ X}\) - a zresztą, sama postać \(\displaystyle{ d(x,y)}\) to wyrażenie pod modułem Tak to właściwie porachowałem na kartce wyrażenie \(\displaystyle{ f(x)-f(y)}\) a potem napisałem, że to oszacowanie dotyczy \(\displaystyle{ d(x,y)}\) i chyba tak ten kwiatek mi wyszedł
Ale to by wychodziło, że \(\displaystyle{ \text{dist}(A,B)=0}\), gdyż \(\displaystyle{ f(x)\in(0,-\infty)}\), \(\displaystyle{ f(y)\in\left[\frac{2}{3},1\right]}\), więc \(\displaystyle{ \inf|f(x)-f(y)|=0}\), (osiągane przez to wyrażenie dla \(\displaystyle{ x=-y}\), np. \(\displaystyle{ y=2}\))?

P.S. zaraz będę miał znowu dostęp do Banasia, wiem że tam jest trochę o topologii prz. metrycznych. Są poza tym na rynku jakieś źródła „podstawowych”, „prostych”, „elementarnych” zadań z prz. topologicznych z naciskiem na prz. metryczne?

Dodano po 5 minutach 55 sekundach:
Aha: odległość \(\displaystyle{ -1}\) od \(\displaystyle{ -\infty}\) wynosi z moich rachunków równo \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) czyli punkt należy do tej kuli - też teraz to widzę, dzięki