Pomógłby ktoś pomóc zrozumieć dowód tw. z "Podstaw Analizy" Rudina:
Twierdzenie: Jeżeli \(\displaystyle{ \{K_t\colon t\in T\}}\) jest rodziną zwartych podzbiorów ustalonej przestrzeni metrycznej (topologicznej?) \(\displaystyle{ X}\) taką, że iloczyn dowolnej skończonej podrodziny rodziny \(\displaystyle{ \{K_t\}_{t\in T}}\) jest niepusty, to zbiór \(\displaystyle{ \bigcap_{t\in T}K_t}\) jest niepusty.
Autor na początku ustala jeden zbiór \(\displaystyle{ K_1\in\{K_t\}_{t\in T}}\) i rodzinę zdefiniowaną przez zbiory \(\displaystyle{ G_t\neq K_t'}\) i mówi tak: Załóżmy, że w \(\displaystyle{ K_1}\) nie ma takiego punktu, który należałby do wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ K_t, t\in T}\). Wówczas zbiory \(\displaystyle{ G_t, t\in T}\) tworzą pokrycie zbioru \(\displaystyle{ K_1}\)... dlaczego?
Ma być tak: \(\displaystyle{ K_1\subseteq\bigcup_{t\in T}G_t}\). Niech \(\displaystyle{ x\in K_1}\) to albo \(\displaystyle{ x\in G_1}\) albo nie... czy musi istnieć \(\displaystyle{ t\in T}\), dla którego \(\displaystyle{ x\in G_t}\)? Istnieją, jak zrozumiałem, zarówno zbiory \(\displaystyle{ K_t}\) do których \(\displaystyle{ x}\) należy jak i nie należy ale co punktowi \(\displaystyle{ x}\) zabrania wstrzelić się dla dowolnego \(\displaystyle{ t}\) w zbiór \(\displaystyle{ X\setminus(K_t\cup G_t)}\)? Co z tego, że \(\displaystyle{ G_t}\) jest od dopełnienia \(\displaystyle{ K_t}\) tylko różne?
\(\displaystyle{ G_t\neq K_t}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t}\), gdy:
- \(\displaystyle{ G_t\subseteq K_t}\)
lub
- \(\displaystyle{ G_t\subsetneq K_t'}\)
W pierwszym przypadku \(\displaystyle{ x}\) nie może należeć do \(\displaystyle{ G_t}\) a w drugim może ale nie musi
Z drugiej części założenia da się to wyciągnąć jakoś? Chyba też nie. Coś tu źle rozumiem.
