Cześć, ma ktoś pomysł jak udowodnić fakt:
\(\displaystyle{ U \subset \RR^{n}}\) - zbiór otwarty, \(\displaystyle{ V}\) zbiór otwarty i spójny taki że \(\displaystyle{ cl(V) \subset U}\) oraz \(\displaystyle{ cl(V)}\) jest zwarty. Wtedy \(\displaystyle{ dist( \partial U,V)>0}\)?
Odległość zbiorów
-
Milo_17
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 14 sty 2018, o 19:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 28 razy
Odległość zbiorów
Ostatnio zmieniony 14 cze 2020, o 16:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Odległość zbiorów
Można na dwa sposoby: topologicznie lub analitycznie.
W pierwszym korzysta się z liczby Lebsgue'a pokrycia \(\displaystyle{ \{ U \}}\) zbioru \(\displaystyle{ \operatorname{cl} V}\): jeśli \(\displaystyle{ \lambda}\) jest tą liczbą, to oczywiście \(\displaystyle{ \operatorname{dist}(\partial U, \operatorname{cl} V) \ge \lambda}\), więc tym bardziej \(\displaystyle{ \operatorname{dist}(\partial U, V) \ge \lambda}\).
Drugi sposób polega na założeniu nie wprost, że \(\displaystyle{ \operatorname{dist}(\partial U, V) = 0}\), i wzięciu ciągów \(\displaystyle{ u_n \in \partial U, v_n \in V}\), takich że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} d(u_n, v_n) = 0}\). Następnie z \(\displaystyle{ v_n}\) wybiera się podciąg zbieżny \(\displaystyle{ v_{n_k} \to v \in \operatorname{cl} V}\) i wykazuje się, że \(\displaystyle{ u_{n_k}}\) też zbiega do \(\displaystyle{ v.}\) Z drugiej strony domkniętość brzegu implikuje \(\displaystyle{ v \in \partial{U}}\), co jest sprzeczne z założenim \(\displaystyle{ \operatorname{cl} V \subseteq U}\).
W pierwszym korzysta się z liczby Lebsgue'a pokrycia \(\displaystyle{ \{ U \}}\) zbioru \(\displaystyle{ \operatorname{cl} V}\): jeśli \(\displaystyle{ \lambda}\) jest tą liczbą, to oczywiście \(\displaystyle{ \operatorname{dist}(\partial U, \operatorname{cl} V) \ge \lambda}\), więc tym bardziej \(\displaystyle{ \operatorname{dist}(\partial U, V) \ge \lambda}\).
Drugi sposób polega na założeniu nie wprost, że \(\displaystyle{ \operatorname{dist}(\partial U, V) = 0}\), i wzięciu ciągów \(\displaystyle{ u_n \in \partial U, v_n \in V}\), takich że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} d(u_n, v_n) = 0}\). Następnie z \(\displaystyle{ v_n}\) wybiera się podciąg zbieżny \(\displaystyle{ v_{n_k} \to v \in \operatorname{cl} V}\) i wykazuje się, że \(\displaystyle{ u_{n_k}}\) też zbiega do \(\displaystyle{ v.}\) Z drugiej strony domkniętość brzegu implikuje \(\displaystyle{ v \in \partial{U}}\), co jest sprzeczne z założenim \(\displaystyle{ \operatorname{cl} V \subseteq U}\).