Domkniętość zbioru jednopunktowego

[stomil]

Jak pokazać, że dowolny zbiór jednopunktowy na prostej rzeczywistej jest domknięty? Jak pokazać, że ma on puste wnętrze?

Z góry dziękuje za pomoc

[Gosda]

1) Pokaż, że jego dopełnienie jest otwarte: można je pokryć odcinkami otwartymi (kulami).

2) Pokaż, że nie zawiera żadnej kuli otwartej o dodatnim promieniu.

[stomil]

Dziękuję
Mam jeszcze inne pytania związane z tymi zagadnieniami.

Jak pokazać, że domknięciem zbioru liczb naturalnych (w przestrzeni euklidesowej) jest zbiór liczb naturalnych? Czy wystarczy, że podam przykład, że istnieje punkt, dla którego jakikolwiek naturalny promień weźmiemy to kula wyjdzie poza ten zbiór np. kula o środku w punkcie \(\displaystyle{ (1,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\), w środku znajdzie się punkt \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2},0\right)}\) i stąd ten zbiór jest domknięty, a skoro tak, to sam dla siebie jest domknięciem?

Jak pokazać, że wnętrze tego zbioru jest puste? Wiem, że jest puste, bo nie znajdziemy takiej kuli w środku, która nie zawierałaby innych liczb niż naturalne i to wynika z tego, że zb. liczb naturalnych nie jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych, ale czy to jest wystarczający dowód? Jak to wszystko przedstawić tak "ładnie", formalnie?

Zastanawiam się, czy nie robię błędu rozumując tak mocno geometrycznie.

[Dasio11]

O jakiej przestrzeni euklidesowej mówisz? Jeśli o \(\displaystyle{ \RR}\), to nie wiem skąd rozważanie pary \(\displaystyle{ (1, 0)}\) jako elementu tej przestrzeni, a jeśli o \(\displaystyle{ \RR^2}\), to zbiór liczb naturalnych nie jest nawet jej podzbiorem.

[stomil]

Dobra, wróćmy. Chodzi o \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) i zamiast \(\displaystyle{ (1,0)}\) mamy 1 i zamiast \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2},0\right)}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

[Gosda]

Jak pokazać, że wnętrze tego zbioru jest puste? Wiem, że jest puste, bo nie znajdziemy takiej kuli w środku, która nie zawierałaby innych liczb niż naturalne i to wynika z tego, że zb. liczb naturalnych nie jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych, ale czy to jest wystarczający dowód? Jak to wszystko przedstawić tak "ładnie", formalnie?

Zastanawiam się, czy nie robię błędu rozumując tak mocno geometrycznie.

To nieprawda. Rozpatrz zamiast liczb naturalnych odcinek jednostkowy (niech będzie, że otwarty - bez końców) na prostej rzeczywistej. "Nie znajdziemy takiej kuli w środku, która nie zawierałaby innych liczb niż z odcinka jednostkowego i to wynika z tego faktu, że odcinek jednostkowy nie jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych" - gdzie w tym rozumowaniu jest błąd?

[stomil]

Jak pokazać, że wnętrze tego zbioru jest puste? Wiem, że jest puste, bo nie znajdziemy takiej kuli w środku, która nie zawierałaby innych liczb niż naturalne i to wynika z tego, że zb. liczb naturalnych nie jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych, ale czy to jest wystarczający dowód? Jak to wszystko przedstawić tak "ładnie", formalnie?

Zastanawiam się, czy nie robię błędu rozumując tak mocno geometrycznie.

To nieprawda. Rozpatrz zamiast liczb naturalnych odcinek jednostkowy (niech będzie, że otwarty - bez końców) na prostej rzeczywistej. "Nie znajdziemy takiej kuli w środku, która nie zawierałaby innych liczb niż z odcinka jednostkowego i to wynika z tego faktu, że odcinek jednostkowy nie jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych" - gdzie w tym rozumowaniu jest błąd?

Wydaje mi się, że błędem jest "Nie znajdziemy takiej kuli w środku, która nie zawierałaby innych liczb niż z odcinka jednostkowego", bo jeżeli rozważmy np. odcinek \(\displaystyle{ (0,1)}\)to znajdziemy w środku np. odcinek \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{10},\frac{6}{10}\right)}\).

[Gosda]

Tak. Tutaj rozumowanie można przeprowadzić tak: gdyby zbiór liczb wymiernych miał niepuste wnętrze, to zawierałby otwarte otoczenie pewnego punktu, powiedzmy zera (nie tracimy tak ogólności w rozumowaniu). Ponieważ dowolna kula otwarta na prostej jest niezdegenerowanym odcinkiem, to zawiera co najmniej dwa różne punkty wymierne. Między dwoma liczbami wymiernymi zawsze można znaleźć trzecią, niewymierną, zatem doszliśmy do sprzeczności - z tym, że nasza kula jest w całości zawarta w zbiorze \(\mathbb Q\).

[stomil]

Bardzo dziękuję za pomoc