przestrzeń ilorazowa

[krl]

No, niech będzie. W każdym razie widzisz już chyba, że nieprawdą jest, że jeśli \(\displaystyle{ x\sim_A y}\), to \(\displaystyle{ x=y}\), co często stosowałaś w swoim dowodzie. To teraz możemy przejść do Twojego dowodu zwrotności, symetryczności i przechodniości relacji \(\displaystyle{ \sim_A}\).
1. Zwrotność: tutaj Twój schemat rozumowania jest błędny. Zakładasz tezę, którą masz udowodnić.
2. Symetryczność i przechodniość: tu schematy rozumowania są poprawne, jednak wypełnione złą treścią (niezgodną z definicją relacji \(\displaystyle{ \sim_A}\), co chyba już rozumiesz).

[pow3r]

Dla zwrotności \(\displaystyle{ x\in X}\) zatem \(\displaystyle{ x\in A}\), bo \(\displaystyle{ A \subset X}\) stąd \(\displaystyle{ x\sim_A x}\). Relacja jest zwrotna. czy teraz jest poprawnie?

[Jan Kraszewski]

2. Symetryczność i przechodniość: tu schematy rozumowania są poprawne,

Czyżby?

Niech \(\displaystyle{ x,y\in X}\) spełniające \(\displaystyle{ x\sim_A y}\) oraz \(\displaystyle{ \red{ y\sim_A x}}\) wtedy \(\displaystyle{ x=y}\) i \(\displaystyle{ y=x}\) a więc \(\displaystyle{ y\sim_A x}\). Relacja jest symetryczna.

To mi nie wygląda na poprawny schemat rozumowania.

Dla zwrotności \(\displaystyle{ x\in X}\) zatem \(\displaystyle{ x\in A}\), bo \(\displaystyle{ A \subset X}\) stąd \(\displaystyle{ x\sim_A x}\). Relacja jest zwrotna. czy teraz jest poprawnie?

No skąd. Mylisz \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) z \(\displaystyle{ X \subseteq A}\).

JK

[pow3r]

Niech \(\displaystyle{ x,y\in X}\) spełnia \(\displaystyle{ x\sim_A y}\) wtedy \(\displaystyle{ x=y}\) stąd \(\displaystyle{ y=x}\) a więc \(\displaystyle{ y\sim_A x}\). Relacja jest symetryczna.

[krl]

@JK: Masz rację, przeoczyłem. Widać tu błędy na podstawowym poziomie logicznym. Ale myślę, że teraz pow3r jest bliżej rozwiązania.
@pow3r: symetryczność nadal jest źle. Zapomniałaś o tym, że już zrozumiałaś definicję relacji.

[pow3r]

zwrotność także jest źle wykonana?

Dodano po 1 minucie 7 sekundach:
może mi ktoś podać jak należy wykonać chociaz 1 własność, wtedy myślę, że ułatwi mi to rozwiazanie całego dowodu

[krl]

Zwrotność: masz wziąć dowolny element \(\displaystyle{ x\in X}\) i pokazać, że \(\displaystyle{ x\sim_A x}\), odwołując się do definicji tej relacji.

Innymi słowy, masz wziąć \(\displaystyle{ x,y\in X}\) dowolne takie, że są one sobie równe, i pokazać wtedy, że \(\displaystyle{ x\sim_A y}\).

[pow3r]

\(\displaystyle{ x}\) jest w relacji podprzestrzeni \(\displaystyle{ A}\) z x , to raczej oczywiste, bo \(\displaystyle{ x }\)się pokrywają, tylko jak to zapisać?

[krl]

Świetnie, że coś jest dla Ciebie oczywiste. Wtedy trzeba napisać to jak najprościej. Co to znaczy, że \(\displaystyle{ x}\) się pokrywają?

[Jan Kraszewski]

Ale myślę, że teraz pow3r jest bliżej rozwiązania.

Pewnie tak, choć fakt, że ta relacja ma trochę sztuczną formalną definicję, raczej jej nie ułatwia. Choć oczywiście błędy logiczne pojawiłyby się zapewne niezależnie od relacji.

JK

[pow3r]

Świetnie, że coś jest dla Ciebie oczywiste. Wtedy trzeba napisać to jak najprościej. Co to znaczy, że \(\displaystyle{ x}\) się pokrywają?

że to jest ten sam punkt

Dodano po 58 sekundach:
staram się to zrozumieć, jednak nie wiem jak to zapisać @krl jesteś w stanie napisać mi dla 1 własności, abym mogła bardziej zrozumieć i zastosować dla pozostałych?

[Jan Kraszewski]

Zwrotność Ci napiszę, bo dla tej konkretnej relacji jest ona dość sztuczna, a bez tego nie pójdziesz dalej, gdzie są poważniejsze problemy.

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x\in X}\). Wtedy \(\displaystyle{ x=x}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ x\sim_A x}\) (bo spełniony jest warunek \(\displaystyle{ x=x\lor (x\in A\land x\in A)}\) - jest on alternatywą, a my wiemy, że pierwszy z jej składników jest prawdziwy, co pociąga prawdziwość całej alternatywy), czego należało dowieść.

Teraz zabierz się za symetrię. Pierwsze podejście było niepoprawne. I nie próbuj "stosować do pozostałych" powyższego rozumowania, bo to inne rozumowania są.

JK

[pow3r]

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x,y\in X}\) wtedy \(\displaystyle{ x=y}\) więc \(\displaystyle{ x\sim_A y}\) z \(\displaystyle{ x=y}\) wynika, że \(\displaystyle{ y=x}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ y\sim_A x}\). warunek jest spełniony \(\displaystyle{ x=y \vee (x\in A \wedge y\in A)}\).
Mam rozumieć, że powyższe rozumowanie jest błędne?
Czyli w symetryczności i przechodniości co należy zastosować?

Dodano po 3 minutach 7 sekundach:
całość jest błędna ,czy jakiś fragment jest poprawny?

[Jan Kraszewski]

Całość jest błędna.

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x,y\in X}\) wtedy \(\displaystyle{ x=y}\)

W tym momencie przestaję czytać. Mimo, że wyraźnie zaznaczyłem, żebyś nie próbowała kopiować rozwiązania ze zwrotności, to Ty uparcie próbujesz naśladować tamto rozumowanie. To tak nie działa, nie da się naśladować dowodów. Jeżeli nie zrozumiesz, co masz zrobić, to to w ogóle nie ma sensu. Czy zastanowiłaś się, co napisałaś? Napisałaś, że jak weźmiesz DOWOLNE dwa elementy zbioru \(\displaystyle{ X}\), to one będą równe (zaznaczę, że nie ma żadnej informacji na temat tego, że zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest jednoelementowy...).

Czyli w symetryczności i przechodniości co należy zastosować?

Należy zrozumieć definicje. Próby stosowania definicji bez zrozumienia to jak nauka strzelania z zamkniętymi oczami. Pistolet w końcu wypali, ale szansa, że trafisz w cel jest prawie zerowa (a nawet, jak przypadkiem trafisz, to szansa, że następnym razem też Ci się uda jest równie mała). Wrócę zatem do tego, co proponował krl: spróbuj własnymi słowami, językiem potocznym, opisać co to znaczy, że relacja \(\displaystyle{ \sim_A}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) jest symetryczna.

JK

[krl]

Tak, jak napisał JK, by udowodnić, że relacja \(\displaystyle{ \sim_A}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) jest symetryczna, najpierw musisz przypomnieć sobie, co to znaczy, że relacja jest symetryczna, a potem to jak najprościej uzasadnić w przypadku konkretnej relacji \(\displaystyle{ \sim_A}\). "Uzasadnić" to nie znaczy napisać jakieś "hokus-pokus", lecz podać przekonującą argumentację, zdanie za zdaniem, każde z nich prawdziwe...

Nie tak, jak piszesz w poniższym cytacie:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x,y\in X}\) wtedy \(\displaystyle{ x=y}\)

Czy mogłabyś uzasadnić, że to, co napisałaś, to prawda? Czy rzeczywiście jeśli ustalimy dowolne \(\displaystyle{ x,y\in X}\), to \(\displaystyle{ x=y}\)?
Albo przynajmniej napisać, dlaczego coś takiego napisałaś?

Nie oczekuj ode mnie, że podam Ci choćby jedno rozwiązanie na tacy, gotowe. Wolę Ci dać wędkę a nie rybę.

Aha, napisz też w języku potocznym, co to znaczy, że relacja \(\displaystyle{ R}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) jest symetryczna.