Dowód pustości wnętrza pewnego zbioru

[pitgot]

Na pewnym skończonym, domkniętym i symetrycznym przedziale (tj. jego krańce są liczbami przeciwnymi) rozważam zbiór wszystkich funkcji ciągłych, które są w nim określone i rosnące, a ich wartości na krańcach rozpatrywanego odcinka różnią się znakiem (dla ścisłości: w lewym krańcu jest ujemna, w prawym zaś dodatnia). Chciałbym pokazać, że wnętrze takiego zbioru jest puste. Domyślam się, że w praktyce zapewne trzeba będzie wziąć jakąś kulę i element należący do danego zbioru, a następnie w jakiś sposób sprawdzić, czy w tej wybranej kuli muszą być tylko elementy takiej postaci (czyli spełniające podane warunki), ale niestety nie za bardzo wiem jak konkretnie się do tego zabrać... Albo może nie wprost, tzn. założyć, że wnętrze jest niepuste i dojść jakoś tym tropem do sprzeczności?

[a4karo]

A jak mierzysz odległość?

[pitgot]

Z racji, że mamy do czynienia z przestrzenią funkcyjną, to raczej standardowo - za pomocą metryki zadanej przez normę supremum.

[Dasio11]

Aby wykazać tezę, wystarczy dla ustalonej ciągłej funkcji rosnącej \(\displaystyle{ f}\) oraz liczby \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) skonstruować funkcję \(\displaystyle{ g}\), która nie jest rosnąca, ale spełnia \(\displaystyle{ \| f-g \|_{\infty} < \varepsilon}\).

[pitgot]

Dziękuję za wskazówkę, dalej postaram się już podumać nad tym samodzielnie