Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej

Post autor: Bran »

Nie wiem czy dobrze rozumiem czym jest zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej.

Jeżeli mamy przestrzeń mierzalną \(\displaystyle{ (X, \FF)}\), to zbiorem otwartym nazywamy dowolny element \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ \FF.}\)
A dopełnienie zbioru otwartego jest zbiorem domkniętym.

Ale wiemy, że jeżeli zbiór \(\displaystyle{ A \in \FF}\), to \(\displaystyle{ A' \in \FF}\), gdzie \(\displaystyle{ A'}\), to dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Czy w takim razie dobrze rozumiem, że w przestrzeni mierzalnej nie istnieją zbiory tylko otwarte lub tylko domknięte?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej

Post autor: Dasio11 »

Bran pisze: 10 maja 2020, o 15:40Jeżeli mamy przestrzeń mierzalną \(\displaystyle{ (X, \FF)}\), to zbiorem otwartym nazywamy dowolny element \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ \FF.}\)
Skąd taka definicja? Zazwyczaj zbiorami otwartymi nazywa się elementy topologii, czyli rodziny podzbiorów przestrzeni topologicznej. Natomiast elementy \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała, czyli rodziny podzbiorów przestrzeni mierzalnej, nazywa się zbiorami mierzalnymi.
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej

Post autor: Bran »

Koleżanka zapytała mnie o to czym jest zbiór otwarty w przestrzeni mierzalnej. Uznałem, że skoro przestrzeń mierzalna jest szczególnym przypadkiem przestrzeni topologicznej, to mogę to tak zdefiniować. Popełniłem błąd?
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej

Post autor: matmatmm »

Tak, bo nie każda przestrzeń mierzalna jest topologiczna (nie każde sigma-ciało jest topologią).
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej

Post autor: Janusz Tracz »

Może miałeś ma myśli przestrzeń metryczną? W przestrzeni metrycznej można zdefiniować topologię kulami otwartymi.

Poza tym, mimo formalnych (definicyjnych) różnic pomiędzy \(\displaystyle{ \sigma}\) ciałem a topologią, występują też równice w samej motywacji do takiego definiowania tych obiektów. W przestrzeni mierzalnej przygotowujemy sobie grunt pod wprowadzenia miary a w przestrzeni topologicznej definiujemy topologię której elementy nazywany się umawiać zbiorami otwartymi po to by zdefiniować ciągłość funkcji w ogólnym ujęciu.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej

Post autor: a4karo »

matmatmm pisze: 10 maja 2020, o 20:12 Tak, bo nie każda przestrzeń mierzalna jest topologiczna (nie każde sigma-ciało jest topologią).
Warto powiedzieć dlaczego. W sigma-ciele dowolna suma zbiorów mierzalnych nie musi być mierzalna. Np na prostej rzeczywistej są zbiory niemierzalne, a każdy z nich jest sumą swoich singletonow, jakie oczywiście są mierzalne
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej

Post autor: Bran »

Dostałem pytanie o definicję zbioru otwartego w przestrzeni mierzalnej, dziękuję Wam, jestem już trochę mądrzejszy ;)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej

Post autor: Jan Kraszewski »

Bran pisze: 10 maja 2020, o 21:01Dostałem pytanie o definicję zbioru otwartego w przestrzeni mierzalnej,
Zawsze możesz poprosić koleżankę o doprecyzowanie pytania.

JK
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej

Post autor: Bran »

W rozpisce materiału na obronę jest "definicja zbioru otwartego i zbioru domkniętego w przestrzeni mierzalnej" stąd jej pytanie. Także bardziej tego chyba nie doprecyzuje.
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej

Post autor: krl »

Myślę, że chodzi o przestrzeń metryczną, a nie "przestrzeń mierzalną".
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej

Post autor: Jan Kraszewski »

To możliwe, bo "metryka" kojarzy się z "mierzeniem", co mogłoby tłumaczyć taką pomyłkę...

JK
ODPOWIEDZ