Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej
Nie wiem czy dobrze rozumiem czym jest zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej.
Jeżeli mamy przestrzeń mierzalną \(\displaystyle{ (X, \FF)}\), to zbiorem otwartym nazywamy dowolny element \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ \FF.}\)
A dopełnienie zbioru otwartego jest zbiorem domkniętym.
Ale wiemy, że jeżeli zbiór \(\displaystyle{ A \in \FF}\), to \(\displaystyle{ A' \in \FF}\), gdzie \(\displaystyle{ A'}\), to dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Czy w takim razie dobrze rozumiem, że w przestrzeni mierzalnej nie istnieją zbiory tylko otwarte lub tylko domknięte?
Jeżeli mamy przestrzeń mierzalną \(\displaystyle{ (X, \FF)}\), to zbiorem otwartym nazywamy dowolny element \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ \FF.}\)
A dopełnienie zbioru otwartego jest zbiorem domkniętym.
Ale wiemy, że jeżeli zbiór \(\displaystyle{ A \in \FF}\), to \(\displaystyle{ A' \in \FF}\), gdzie \(\displaystyle{ A'}\), to dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Czy w takim razie dobrze rozumiem, że w przestrzeni mierzalnej nie istnieją zbiory tylko otwarte lub tylko domknięte?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej
Skąd taka definicja? Zazwyczaj zbiorami otwartymi nazywa się elementy topologii, czyli rodziny podzbiorów przestrzeni topologicznej. Natomiast elementy \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała, czyli rodziny podzbiorów przestrzeni mierzalnej, nazywa się zbiorami mierzalnymi.
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej
Koleżanka zapytała mnie o to czym jest zbiór otwarty w przestrzeni mierzalnej. Uznałem, że skoro przestrzeń mierzalna jest szczególnym przypadkiem przestrzeni topologicznej, to mogę to tak zdefiniować. Popełniłem błąd?
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej
Tak, bo nie każda przestrzeń mierzalna jest topologiczna (nie każde sigma-ciało jest topologią).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej
Może miałeś ma myśli przestrzeń metryczną? W przestrzeni metrycznej można zdefiniować topologię kulami otwartymi.
Poza tym, mimo formalnych (definicyjnych) różnic pomiędzy \(\displaystyle{ \sigma}\) ciałem a topologią, występują też równice w samej motywacji do takiego definiowania tych obiektów. W przestrzeni mierzalnej przygotowujemy sobie grunt pod wprowadzenia miary a w przestrzeni topologicznej definiujemy topologię której elementy nazywany się umawiać zbiorami otwartymi po to by zdefiniować ciągłość funkcji w ogólnym ujęciu.
Poza tym, mimo formalnych (definicyjnych) różnic pomiędzy \(\displaystyle{ \sigma}\) ciałem a topologią, występują też równice w samej motywacji do takiego definiowania tych obiektów. W przestrzeni mierzalnej przygotowujemy sobie grunt pod wprowadzenia miary a w przestrzeni topologicznej definiujemy topologię której elementy nazywany się umawiać zbiorami otwartymi po to by zdefiniować ciągłość funkcji w ogólnym ujęciu.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej
Warto powiedzieć dlaczego. W sigma-ciele dowolna suma zbiorów mierzalnych nie musi być mierzalna. Np na prostej rzeczywistej są zbiory niemierzalne, a każdy z nich jest sumą swoich singletonow, jakie oczywiście są mierzalne
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej
Dostałem pytanie o definicję zbioru otwartego w przestrzeni mierzalnej, dziękuję Wam, jestem już trochę mądrzejszy
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej
Zawsze możesz poprosić koleżankę o doprecyzowanie pytania.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej
W rozpisce materiału na obronę jest "definicja zbioru otwartego i zbioru domkniętego w przestrzeni mierzalnej" stąd jej pytanie. Także bardziej tego chyba nie doprecyzuje.
-
- Użytkownik
- Posty: 609
- Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 135 razy
Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej
Myślę, że chodzi o przestrzeń metryczną, a nie "przestrzeń mierzalną".
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Zbiór otwarty i zbiór domknięty w przestrzeni mierzalnej
To możliwe, bo "metryka" kojarzy się z "mierzeniem", co mogłoby tłumaczyć taką pomyłkę...
JK
JK