Niech \(\displaystyle{ \gamma\in \Gamma}\) będzie krzywą zamknięta bez samoprzecięć*. Punkty wewnątrz \(\displaystyle{ \gamma}\) niech tworzą zbiór \(\displaystyle{ \mathcal{U}_{\gamma}}\). Definiuję teraz funkcje odległości punktów zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{U}_{\gamma}}\) od krzywej \(\displaystyle{ \gamma}\) jako \(\displaystyle{ \text{d}:\mathcal{U}_{\gamma} \times \Gamma \rightarrow \RR_{ \ge 0} }\) daną wzorem:
\(\displaystyle{ \text{d}\left( \mathbf{x},\gamma\right) = \inf_{\mathbf{y}\in \gamma} \text{d}_e \left( \mathbf{x},\mathbf{y} \right) }\)
Czyli jest to odległość wybranego punkty wewnątrz \(\displaystyle{ \gamma}\) innymi słowy z \(\displaystyle{ \mathcal{U}_{\gamma}}\), do krzywej \(\displaystyle{ \gamma}\). Intuicyjnie definicją tą chcę wyrazić minimalny promień okrąg o środku w \(\displaystyle{ \mathbf{x}}\), który styka się już z \(\displaystyle{ \gamma}\). Definiuję teraz zbiór punktów styku \(\displaystyle{ n}\)-krotnego \(\displaystyle{ \Pi_n}\) jako:
\(\displaystyle{ \Pi_n=\left\{ \mathbf{x} \in \mathcal{U}_{\gamma} : \left( \exists \mathbf{y}_1 , \mathbf{y}_2,...,\mathbf{y}_n\in \gamma\right) \left( \forall i\in[n]\right) \text{d}_e\left(\mathbf{x}, \mathbf{y}_i \right) = \text{d}\left(\mathbf{x}, \gamma \right) \right\} }\)
Przy czym zakładam, że punkty \(\displaystyle{ \mathbf{y}_1 , \mathbf{y}_2,...,\mathbf{y}_n\in \gamma}\) są parami różne. Innymi słowy, jeśli \(\displaystyle{ \gamma}\) była by trójkątem, to \(\displaystyle{ \Pi_2}\) były by kawałkami dwusiecznych, a \(\displaystyle{ \Pi_3}\) punktem przecięcia się dwusiecznych. Intuicyjnie mówiąc \(\displaystyle{ \Pi_n}\) to podzbiór \(\displaystyle{ \mathcal{U}_{\gamma}}\) punktów, dla których odległość od \(\displaystyle{ \gamma}\) zakreśla okrąg stykający się z dokładnie \(\displaystyle{ n}\) punktami leżącymi na \(\displaystyle{ \gamma}\). Zdefiniujmy \(\displaystyle{ \pi: \bigcup_{n \ge 1} \Pi_n \rightarrow \NN \cup \left\{ \infty\right\} }\) jako:
\(\displaystyle{ \pi(\mathbf{x}) = \begin{cases} n \ \ \text{ gdy } \mathbf{x}\in \Pi_n \\ \infty \text{ gdy } \mathbf{x} \text{ ma nieskończenie wiele punktów styku z } \gamma \end{cases} }\)
Co intuicyjnie można rozumieć jako przypisanie każdemu punktowi \(\displaystyle{ \bigcup_{n \ge 1} \Pi_n}\) liczby punktów styku z \(\displaystyle{ \gamma}\), czyli liczby z iloma punkami ten minimalny okrąg się styka. Zastanawiam się nad:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Czy można odzyskać** \(\displaystyle{ \mathcal{U}_{\gamma}}\), gdy mamy \(\displaystyle{ \bigcup_{n \ge 2} \Pi_n }\).
częściowy szkic:
częściowy szkic:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Czy jeśli \(\displaystyle{ \left| \bigcup_{n \ge 2} \Pi_n \right|=1 }\), to \(\displaystyle{ \gamma}\) jest okręgiem.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Czy jeśli \(\displaystyle{ \left| \bigcup_{n \ge 2} \Pi_n \right|=1 }\) oraz dla \(\displaystyle{ \mathbf{x}\in \bigcup_{n \ge 2} \Pi_n}\) mamy \(\displaystyle{ \pi(\mathbf{x})= \infty }\), to \(\displaystyle{ \gamma}\) jest okręgiem.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Czy istnej \(\displaystyle{ \mathcal{U}_{\gamma}}\), dla którego \(\displaystyle{ \bigcup_{n \ge 2} \Pi_n }\) nie jest spójny.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Czy istnej \(\displaystyle{ \mathcal{U}_{\gamma}}\), dla którego \(\displaystyle{ \bigcup_{n \ge 2} \Pi_n }\) nie jest spójny oraz \(\displaystyle{ \left( \forall \mathbf{x} \in \bigcup_{n \ge 2} \Pi_n \right)\pi(\mathbf{x}) \neq \infty }\) .
\(\displaystyle{ \bullet}\) Czy ktoś się tym zajmował i jeśli tak, to czy gdzie można o tym przeczytać.
* Nie wymagam by \(\displaystyle{ \gamma}\) była gładka ale raczej nie chciałbym, aby miała nieskończenie wiele punktów nieróżniczkowalnych.
** Przez odzyskać rozumiem odzyskanie kształtu z dokładnością do podobieństwa. Jeśli jednak będą to wymagania zbyt mocne, to chętnie dowiem się czy przez odzyskanie można rozumieć tu inne własności zbioru.
Część pojęć nie jest doprecyzowana specjalnie, jednak pozostawiam pewne pole manewru, by pewne założenia osłabić lub wzmocnić. Być może część definicji wymaga jeszcze doprecyzowania, ale chciałem wyrazić nimi ogólne intuicje, a nie formalizować i teoretyzować zagadnienie.
