przestrzeń ilorazowa

[pow3r]

Niech \(\displaystyle{ (X,\tau)}\) będzie przestrzenią topologiczną \(\displaystyle{ \sim}\)relacją równoważności w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), a \(\displaystyle{ q:X\to X/\sim}\) przekształceniem przypisującym punktowi jego klasę abstrakcji.W zbiorze \(\displaystyle{ X/\sim}\) definiujemy topologię wprowadzoną przez przekształcenie \(\displaystyle{ q}\), którą nazywamy topologią ilorazową, a przestrzeń \(\displaystyle{ X/\sim}\) przestrzenią ilorazową.\\

\(\displaystyle{ \tau/\sim=\{U\subset X/\sim :q^{-1}(U)\in\tau\}}\)

jak wykazac, ze to jest topologia, czy ktoś mi pomoże?

[Gosda]

Tu nie ma nic do pokazania

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/General_topology#Defining_topologies_via_continuous_functions

[pow3r]

zatem jak udowodnić, że to jest topologia

Dodano po 45 sekundach:
chociażby może słownie?
mam to zawrzec w mojej pracy dyplomowej i promotor kazał mi to udowodnić

[Dasio11]

A przy sprawdzaniu którego z warunków z definicji topologii pojawia się problem?

[pow3r]

1) Zbiór \(\displaystyle{ X}\) oraz zbiór \(\displaystyle{ \varnothing}\) należą do \(\displaystyle{ \tau}\) to wiem
2)część współna \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ X}\) też należy do \(\displaystyle{ \tau}\)
nie wiem co z warunkiem 3

[Dasio11]

2)część współna \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ X}\) też należy do \(\displaystyle{ \tau}\)

Raczej: część wspólna dowolnych dwóch elementów \(\displaystyle{ U, V \in \tau}\) też należy do \(\displaystyle{ \tau}\).

Co do ostatniego warunku - ustal co trzeba i napisz, co należy udowodnić, a później skorzystaj z własności przeciwobrazu.

[pow3r]

Suma dowolnej, nawet nieskończonej liczby zbiorów należących do \(\displaystyle{ \tau}\) także należy do \(\displaystyle{ \tau}\).

[Jan Kraszewski]

To teraz napisz, co to znaczy w tym konkretnym przypadku.

JK

[pow3r]

To teraz napisz, co to znaczy w tym konkretnym przypadku.

JK

Właśnie w tym jest problem, że nie wiem jak to sprecyzować

Dodano po 5 minutach 46 sekundach:
\(\displaystyle{ q \subset \tau \Rightarrow \bigcup q \in \tau }\)
coś takiego?

Dodano po 14 minutach 54 sekundach:

Niech \(\displaystyle{ (X,\tau)}\) będzie przestrzenią topologiczną \(\displaystyle{ \sim}\)relacją równoważności w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), a \(\displaystyle{ q:X\to X/\sim}\) przekształceniem przypisującym punktowi jego klasę abstrakcji.W zbiorze \(\displaystyle{ X/\sim}\) definiujemy topologię wprowadzoną przez przekształcenie \(\displaystyle{ q}\), którą nazywamy topologią ilorazową, a przestrzeń \(\displaystyle{ X/\sim}\) przestrzenią ilorazową.\\

\(\displaystyle{ \tau/\sim=\{U\subset X/\sim :q^{-1}(U)\in\tau\}}\)

jak wykazac, ze to jest topologia, czy ktoś mi pomoże?

udowodnić, że jest to topologia na \(\displaystyle{ X/\sim}\) czy to zmienia coś w tym przypadku?

Dodano po 32 minutach 31 sekundach:
Czy ktoś pomoże mi z 3 warunkiem?

[Dasio11]

Warunek 3 mówi: dla dowolnej rodziny \(\displaystyle{ \{ U_i : i \in I \}}\) otwartych podzbiorów \(\displaystyle{ X/{\sim}}\), ich suma

\(\displaystyle{ U = \bigcup_{i \in I} U_i}\)

jest otwartym podzbiorem \(\displaystyle{ X/{\sim}}\).

Żeby wykazać ten warunek, ustalasz dowolną rodzinę \(\displaystyle{ \{ U_i : i \in I \}}\) zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ X/{\sim}}\) i chcesz wykazać, że \(\displaystyle{ U}\) też jest otwartym podzbiorem \(\displaystyle{ X/{\sim}}\). Zapisz więc, co w Twoim konkretnym przypadku oznacza założenie, że zbiory \(\displaystyle{ U_i}\) są otwarte, i co oznacza teza, że \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty.

Edit: poprawka.

[pow3r]

niestety nie potrafię tego zrobić, czy jesteś w stanie mi pomóc?

[Dasio11]

Skoro nie potrafisz, to Twój problem jest raczej nie z topologią, tylko ze wstępem do matematyki. Mogę tylko zasugerować uzupełnienie tych podstaw, bo bez nich przypuszczalnie nie zrozumiesz ani rozwiązania tego zadania, ani żadnych innych rozumowań związanych z topologią, która jest działem zdecydowanie trudniejszym.

[pow3r]

Czy jest ktoś w stanie pokazać trzecią własność?

Dodano po 10 minutach 2 sekundach:
suma dowolnej, nawet nieskończonej liczby zbiorów należących do\(\displaystyle{ \tau }\) także należy do\(\displaystyle{ \tau}\)

Dodano po 3 minutach 15 sekundach:
\(\displaystyle{ U}\) jest otwarty poprzez przeciwobraz \(\displaystyle{ q^{-1}(U)\in \tau}\)

[Jan Kraszewski]

Czy jest ktoś w stanie pokazać trzecią własność?

Jak chcesz się czegoś nauczyć, to powinnaś zrobić to sama.

suma dowolnej, nawet nieskończonej liczby zbiorów należących do\(\displaystyle{ \tau }\) także należy do\(\displaystyle{ \tau}\)

Tak, już ustaliliśmy, że to masz udowodnić.

\(\displaystyle{ U}\) jest otwarty poprzez przeciwobraz \(\displaystyle{ q^{-1}(U)\in \tau}\)

A co to miałoby oznaczać?

Dasio11 napisał Ci co dokładnie masz zrobić:

Warunek 3 mówi: dla dowolnej rodziny \(\displaystyle{ \{ U_i : i \in I \}}\) otwartych podzbiorów \(\displaystyle{ X/{\sim}}\), ich suma

\(\displaystyle{ U = \bigcup_{i \in I} U_i}\)

jest otwartym podzbiorem \(\displaystyle{ X/{\sim}}\).

Żeby wykazać ten warunek, ustalasz dowolną rodzinę \(\displaystyle{ \{ U_i : i \in I \}}\) zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ X/{\sim}}\) i chcesz wykazać, że \(\displaystyle{ U}\) też jest otwartym podzbiorem \(\displaystyle{ X/{\sim}}\). Zapisz więc, co w Twoim konkretnym przypadku oznacza założenie, że zbiory \(\displaystyle{ U_i}\) są otwarte, i co oznacza teza, że \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty.

Zamiast powtarzać prośby o rozwiązanie zajmij się tym, co napisał. Czytaj zdanie po zdaniu i staraj się ZROZUMIEĆ, co czytasz. A jak czegoś nie rozumiesz, to zadaj KONKRETNE pytanie, czego nie rozumiesz.

JK

[pow3r]

Niech \(\displaystyle{ \{U_x : x\in X\}}\) będzie dowolną rodziną zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ X/\sim}\). Dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in X}\) i otwartego zbioru \(\displaystyle{ U \subset X}\) mamy \(\displaystyle{ x\in U}\). Zbiór \(\displaystyle{ V\subset X}\) jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego \(\displaystyle{ x\in V}\) istnieje \(\displaystyle{ U_{x}}\) gdzie \(\displaystyle{ x \subset V}\). Jeśli \(\displaystyle{ V}\) jest zbiorem otwartym to \(\displaystyle{ U_{x}=V}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in V}\) jeśli warunek jest spełniony wtedy \(\displaystyle{ V=U_{x\in V}}\), \(\displaystyle{ U_{x}}\) jest otwarty.
zgadza się?