przestrzeń ilorazowa

[Jan Kraszewski]

Nie, nie zgadza się.

Niech \(\displaystyle{ \{U_x : x\in X\}}\) będzie dowolną rodziną zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ X/\sim}\).

Pierwsza usterka - nie możesz indeksować elementów dowolnej rodziny otwartej elementami zbioru \(\displaystyle{ X}\).

Dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in X}\) i otwartego zbioru \(\displaystyle{ U \subset X}\) mamy \(\displaystyle{ x\in U}\). Zbiór \(\displaystyle{ V\subset X}\) jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego \(\displaystyle{ x\in V}\) istnieje \(\displaystyle{ U_{x}}\) gdzie \(\displaystyle{ x \subset V}\). Jeśli \(\displaystyle{ V}\) jest zbiorem otwartym to \(\displaystyle{ U_{x}=V}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in V}\) jeśli warunek jest spełniony wtedy \(\displaystyle{ V=U_{x\in V}}\), \(\displaystyle{ U_{x}}\) jest otwarty.

Przykro mi, ale to nie ma ani żadnego sensu, ani żadnego związku z zadaniem.

To, co wypisujesz wyraźnie wskazuje na to, że nie rozumiesz, co piszesz. Dlaczego nie słuchasz dobrych rad, które dostajesz?

Powtórzę, Dasio11 napisał Ci co dokładnie masz zrobić, dlaczego go nie słuchasz?

Żeby wykazać ten warunek, ustalasz dowolną rodzinę \(\displaystyle{ \{ U_i : i \in I \}}\) zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ X/{\sim}}\) i chcesz wykazać, że \(\displaystyle{ U}\) też jest otwartym podzbiorem \(\displaystyle{ X/{\sim}}\).

Już tutaj zrobiłaś co innego. Masz ustalić rodzinę \(\displaystyle{ \{ U_i : i \in I \}}\) zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ X/{\sim}}\) (dokładniej, zbiorów które należą do rodziny, o której chcesz pokazać, że jest topologią, czyli do \(\displaystyle{ \tau/_\sim}\)).

Zapisz więc, co w Twoim konkretnym przypadku oznacza założenie, że zbiory \(\displaystyle{ U_i}\) są otwarte, i co oznacza teza, że \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty.

To jest to miejsce, w którym musisz skorzystać z definicji rodziny \(\displaystyle{ \tau/_\sim}\):

\(\displaystyle{ \tau/_\sim=\{U\subset X/\sim :q^{-1}(U)\in\tau\}}\)

JK

[pow3r]

Suma dowolnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
Niech \(\displaystyle{ I}\) będzie dowolnym zbiorem. Jeśli \(\displaystyle{ U_i\in \tau}\) dla każdego \(\displaystyle{ i \in I}\) to również \(\displaystyle{ \bigcup_{i\in I}U_i\in \tau }\).
\(\displaystyle{ i \in q^{-1}(U)\iff q(i)\in U}\)
czy to będzie tak?

[Jan Kraszewski]

Nie, znów żonglujesz znaczkami.

Suma dowolnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
Niech \(\displaystyle{ I}\) będzie dowolnym zbiorem. Jeśli \(\displaystyle{ U_i\in \tau}\) dla każdego \(\displaystyle{ i \in I}\) to również \(\displaystyle{ \bigcup_{i\in I}U_i\in \tau }\).

OK, kolejny raz powtarzasz definicje. Należy to w końcu zastosować.

\(\displaystyle{ i \in q^{-1}(U)\iff q(i)\in U}\)
czy to będzie tak?

A co to jest? To jest jakiś układ znaczków, który ne ma nic wspólnego z tym, co trzeba zrobić. W dodatku literka \(\displaystyle{ i}\) znaczy coś zupełnie innego niż linijkę wyżej.

Jesteś dość oporna. Masz dokładnie rozpisane kolejne kroki, a uparcie nie chcesz się zastosować do podanych wskazówek. Skoro masz wskazówkę

Masz ustalić rodzinę \(\displaystyle{ \{ U_i : i \in I \}}\) zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ X/{\sim}}\) (dokładniej, zbiorów które należą do rodziny, o której chcesz pokazać, że jest topologią, czyli do \(\displaystyle{ \tau/_\sim}\)).

to powinno być dość jasne, że dowód powinien zaczynać się od:

"Ustalmy dowolną rodzinę \(\displaystyle{ \{ U_i : i \in I \} \subseteq \tau/_{\sim}}\)"

Dalej masz napisane:

Zapisz więc, co w Twoim konkretnym przypadku oznacza założenie, że zbiory \(\displaystyle{ U_i}\) są otwarte, i co oznacza teza, że \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty.

To jest to miejsce, w którym musisz skorzystać z definicji rodziny \(\displaystyle{ \tau/_\sim}\):

\(\displaystyle{ \tau/_\sim=\{U\subset X/\sim :q^{-1}(U)\in\tau\}}\)

więc powinnaś napisać

"Dla dowolnego \(\displaystyle{ i\in I}\) z definicji \(\displaystyle{ \tau/_{\sim}}\) mamy ..."

i tu powinien pojawić się warunek związany z \(\displaystyle{ U_i}\) wynikający ze wspomnianej z definicji \(\displaystyle{ \tau/_{\sim}}\) (bo pamiętamy, że \(\displaystyle{ U_i\in\tau/_{\sim}}\)).

W podobny sposób powinnaś (na boku) rozpisać sobie, co oznacza teza, czyli \(\displaystyle{ \bigcup_{i\in I}U_i\in \tau/_\sim }\) i zastanowić się jak z tego, co mamy, korzystając z własności przeciwobrazu, wywnioskować tezę.

JK