Matematyka.pl

Czy można coś o takich warunkach:
\(\displaystyle{ d\left( A,A\right) \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ d\left( A,B\right) \ge d\left( B,A\right) }\)
\(\displaystyle{ (d\left( A,C\right) \le d\left( A,B\right)+d\left( B,C\right))\vee ( d\left( A,C\right) \ge d\left( A,B\right)+d\left( B,C\right) )
}\) uznać za uogólnienie metryki?

Ale jaki miałby być cel tego "uogólnienia"?

login1977 pisze: ↑26 mar 2020, o 13:56\(\displaystyle{ (d\left( A,C\right) \le d\left( A,B\right)+d\left( B,C\right))\vee ( d\left( A,C\right) \ge d\left( A,B\right)+d\left( B,C\right) ) }\)

Mógłbyś wytłumaczyć sens tego "warunku", który jest zawsze spełniony?

JK

\(\displaystyle{ d}\) może spełniać warunek trójkąta lub może go nie spełniać tzn. mogą istnieć np. drogi między punktami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) które są dłuższe od dróg prowadzących od \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ C}\) przez punkt \(\displaystyle{ B}\).

login1977 pisze: ↑26 mar 2020, o 14:22\(\displaystyle{ d}\) może spełniać warunek trójkąta lub może go nie spełniać

Ale zdajesz sobie sprawę, że w powyższej wersji to jest bez sensu: Jaka będzie jutro pogoda? Będzie padać albo nie będzie padać... Każda funkcja spełnia powyższy warunek.

login1977 pisze: ↑26 mar 2020, o 14:22tzn. mogą istnieć np. drogi między punktami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) które są dłuższe od dróg prowadzących od \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ C}\) przez punkt \(\displaystyle{ B}\).

Ale wiesz, że kwantyfikatory są po to, żeby ich używać? Proponuję zatem, żebyś jeszcze raz sformułował warunki z pierwszego posta, ale tym razem porządnie.

Nie odpowiedziałeś też na pytanie o cel.

JK

A z drugiego warunku wynika, że `d(A,B)=d(B,A)`, więc co on ma dać?

a4karo pisze: ↑26 mar 2020, o 16:00 A z drugiego warunku wynika, że `d(A,B)=d(B,A)`

Tylko pod warunkiem, że tam jest kwantyfikator ogólny...

JK

\(\displaystyle{ \left( \forall A\right) }\)\(\displaystyle{ \left(\exists d\right) }\) \(\displaystyle{ d\left( A,A\right) \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ \left( \forall A,B \right)\left( \exists d _{1}, d _{2} \right) d _{1} \left( A,B\right) \ge d _{2} \left( B,A\right) }\)
\(\displaystyle{ \left( \forall d\right)\left(\forall A,B,C\right)\left( \exists d_{1} \right)\left( d\left( A,C\right) \le d\left( A,B\right)+d\left( B,C\right)\right) \Rightarrow \left( d _{1}\left( A,C\right) \ge d_{1}\left( A,B\right)+d _{1} \left( B,C\right)\right) }\)

No cóż, nie jest lepiej, jest nawet gorzej. Obawiam się, że trochę przespałeś "Wstęp do matematyki".

login1977 pisze: ↑26 mar 2020, o 16:28 \(\displaystyle{ \left( \forall A\right) }\)\(\displaystyle{ \left(\exists d\right) }\) \(\displaystyle{ d\left( A,A\right) \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ \left( \forall A,B \right)\left( \exists d _{1}, d _{2} \right) d _{1} \left( A,B\right) \ge d _{2} \left( B,A\right) }\)
\(\displaystyle{ \left( \forall d\right)\left(\forall A,B,C\right)\left( \exists d_{1} \right)\left( d\left( A,C\right) \le d\left( A,B\right)+d\left( B,C\right)\right) \Rightarrow \left( d _{1}\left( A,C\right) \ge d_{1}\left( A,B\right)+d _{1} \left( B,C\right)\right) }\)

Czy zdajesz sobie sprawę, że to nie jest definicja czegokolwiek? To są trzy zdania (nieznanej prawdziwości - dopóki nie ustalimy zakresu kwantyfikatorów), więc nie mogą nic definiować. Jeżeli chcesz zdefiniować, kiedy funkcja \(\displaystyle{ d:X\to \RR}\) jest login1977-metryką, to musisz podać warunki na to, będące formułami, w których \(\displaystyle{ d}\) jest jedyną zmienną wolną.

JK

PS
Nawiasem mówiąc, trzecie wyrażenie nie jest zdaniem, bo ma błędną składnię (jest formułą o zmiennych wolnych \(\displaystyle{ d_1,A,B,C...}\)).

Przepraszam za zawracanie głowy.