Jak badać czy podzbiory \(\displaystyle{ \RR^{n} }\) są ograniczone, otwarte, domknięte, zwarte, wypukłe? Znam teorię, jednak nie wiem jak to badać w praktyce. Dla przykładu mam zbiory:
\(\displaystyle{ A= \left\{ (x, y, z) \in \RR ^{3} : \left| x+y+z\right| \le 1\right\} \\
B= \left\{ (x, y, z) \in \RR^{3} : x ^{2} + y ^{2}+z \ge 1, x ^{2}+y ^{2}+ z ^{2}<4 \right\} }\)
Podzbiory R.
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 14 lis 2019, o 22:59
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 23 razy
Podzbiory R.
Ostatnio zmieniony 15 mar 2020, o 13:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Podzbiory R.
Jeśli nie widzisz jak się zabrać za badanie tych podzbiorów \(\displaystyle{ \RR^3}\), to proponuję zacząć od analogicznego zadania w \(\displaystyle{ \RR^2}\):
\(\displaystyle{ A = \{ (x, y) \in \RR^2 : |x+y| \le 1 \} \\
B = \{ (x, y) \in \RR^2 : x^2 + y \ge 1 \wedge x^2 + y^2 < 4 \}}\)
Ograniczoność: czy potrafisz podać przykłady punktów w tych zbiorach o module \(\displaystyle{ 10}\) ? \(\displaystyle{ 100}\) ? \(\displaystyle{ 1 \ 000 \ 000}\) ?
Otwartość i domkniętość: czy znasz twierdzenie mówiące, że przeciwobraz przez funkcję ciągłą dowolnego zbioru otwartego jest otwarty, a dowolnego zbioru domkniętego - domknięty?
Zwartość: czy wiesz, że zwarte podzbiory \(\displaystyle{ \RR^n}\) to dokładnie zbiory domknięte i ograniczone?
\(\displaystyle{ A = \{ (x, y) \in \RR^2 : |x+y| \le 1 \} \\
B = \{ (x, y) \in \RR^2 : x^2 + y \ge 1 \wedge x^2 + y^2 < 4 \}}\)
Ograniczoność: czy potrafisz podać przykłady punktów w tych zbiorach o module \(\displaystyle{ 10}\) ? \(\displaystyle{ 100}\) ? \(\displaystyle{ 1 \ 000 \ 000}\) ?
Otwartość i domkniętość: czy znasz twierdzenie mówiące, że przeciwobraz przez funkcję ciągłą dowolnego zbioru otwartego jest otwarty, a dowolnego zbioru domkniętego - domknięty?
Zwartość: czy wiesz, że zwarte podzbiory \(\displaystyle{ \RR^n}\) to dokładnie zbiory domknięte i ograniczone?
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 14 lis 2019, o 22:59
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 23 razy
Re: Podzbiory R.
W \(\displaystyle{ \RR^{2} }\) już zrozumiałam, pomogło mi to, że sobie narysowałam te zbiory, jednak w \(\displaystyle{ \RR^{3} }\) nie potrafię sobie tego wyobrazić. Nie mam problemu z otwartością i domkniętością. Wiem, że zbiór zwarty musi być ograniczony i domknięty, jednak nie potrafię stwierdzić czy jest ograniczony i wypukły.
Ostatnio zmieniony 24 mar 2020, o 11:35 przez Dasio11, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Podzbiory R.
W \(\displaystyle{ \RR^2}\) można tak:
- zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest ograniczony, bo dla każdego \(\displaystyle{ M > 0}\) punkt \(\displaystyle{ \left< -M, M \right>}\) należy do \(\displaystyle{ A}\) i jego odległość od zera jest większa niż \(\displaystyle{ M}\);
- zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest ograniczony, bo jest zawarty w kuli o środku w zerze i promieniu \(\displaystyle{ 4}\);
- zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest wypukły, co sprawdza się z definicji, korzystając z nierówności trójkąta;
- zbiór \(\displaystyle{ B}\) nie jest wypukły, bo jego cięcie w punkcie \(\displaystyle{ y = 0}\) to \(\displaystyle{ B^0 = \{ x \in \RR : 1 \le x^2 < 4 \}}\) i nie jest ono zbiorem wypukłym.
W \(\displaystyle{ \RR^3}\) wszystko robi się podobnie - spróbuj. Wyobrażenie sobie podanych zbiorów może Ci pomóc, ale nie jest wcale konieczne (a już w wymiarze \(\displaystyle{ 7}\) byłoby wręcz niemożliwe) - wystarczy tylko mądrze przerobić rozwiązanie z płaszczyzny tak, by działało dla przestrzeni trójwymiarowej.
- zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest ograniczony, bo dla każdego \(\displaystyle{ M > 0}\) punkt \(\displaystyle{ \left< -M, M \right>}\) należy do \(\displaystyle{ A}\) i jego odległość od zera jest większa niż \(\displaystyle{ M}\);
- zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest ograniczony, bo jest zawarty w kuli o środku w zerze i promieniu \(\displaystyle{ 4}\);
- zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest wypukły, co sprawdza się z definicji, korzystając z nierówności trójkąta;
- zbiór \(\displaystyle{ B}\) nie jest wypukły, bo jego cięcie w punkcie \(\displaystyle{ y = 0}\) to \(\displaystyle{ B^0 = \{ x \in \RR : 1 \le x^2 < 4 \}}\) i nie jest ono zbiorem wypukłym.
W \(\displaystyle{ \RR^3}\) wszystko robi się podobnie - spróbuj. Wyobrażenie sobie podanych zbiorów może Ci pomóc, ale nie jest wcale konieczne (a już w wymiarze \(\displaystyle{ 7}\) byłoby wręcz niemożliwe) - wystarczy tylko mądrze przerobić rozwiązanie z płaszczyzny tak, by działało dla przestrzeni trójwymiarowej.
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 14 lis 2019, o 22:59
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 23 razy
Re: Podzbiory R.
Niestety, ale chyba jestem bardzo oporna na tego typu zadania, niezbyt mi to wychodzi tym sposobem, być może też przez to, że przez obecną sytuację mamy robić materiał sami Czy jest jakiś sposób, dzięki któremu praktycznie od ręki można stwierdzić czy zbiór jest ograniczony i wypukły?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Podzbiory R.
Nie ma takiego sposobu - można jedynie wziąć do ręki definicję i próbować dowodzić, że zbiór ma taką czy inną własność. A skoro masz kłopot, to jednak spróbuj popracować wyobraźnią - zbiór \(\displaystyle{ A}\) wygląda w przestrzeni jak gruba płaszczyzna, a \(\displaystyle{ B}\) to zbiór powstały przez obrót poniższej figury płaskiej wokół pionowej osi:
A w czym konkretnie jest problem? Nie rozumiesz podanych przeze mnie dowodów własności zbiorów w \(\displaystyle{ \RR^2}\), czy też nie potrafisz ich przerobić tak by działały w \(\displaystyle{ \RR^3}\) ?
A w czym konkretnie jest problem? Nie rozumiesz podanych przeze mnie dowodów własności zbiorów w \(\displaystyle{ \RR^2}\), czy też nie potrafisz ich przerobić tak by działały w \(\displaystyle{ \RR^3}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 14 lis 2019, o 22:59
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 23 razy
Re: Podzbiory R.
Mam problem z \(\displaystyle{ R^{3} }\).
Ostatnio zmieniony 24 mar 2020, o 11:19 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: nie cytuj całego posta bezpośrednio nad Twoim.
Powód: Poprawa wiadomości: nie cytuj całego posta bezpośrednio nad Twoim.