Podzbiory R.

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
xdominika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 14 lis 2019, o 22:59
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 23 razy

Podzbiory R.

Post autor: xdominika »

Jak badać czy podzbiory \(\displaystyle{ \RR^{n} }\) są ograniczone, otwarte, domknięte, zwarte, wypukłe? Znam teorię, jednak nie wiem jak to badać w praktyce. Dla przykładu mam zbiory:
\(\displaystyle{ A= \left\{ (x, y, z) \in \RR ^{3} : \left| x+y+z\right| \le 1\right\} \\
B= \left\{ (x, y, z) \in \RR^{3} : x ^{2} + y ^{2}+z \ge 1, x ^{2}+y ^{2}+ z ^{2}<4 \right\} }\)
Ostatnio zmieniony 15 mar 2020, o 13:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Podzbiory R.

Post autor: Dasio11 »

Jeśli nie widzisz jak się zabrać za badanie tych podzbiorów \(\displaystyle{ \RR^3}\), to proponuję zacząć od analogicznego zadania w \(\displaystyle{ \RR^2}\):

\(\displaystyle{ A = \{ (x, y) \in \RR^2 : |x+y| \le 1 \} \\
B = \{ (x, y) \in \RR^2 : x^2 + y \ge 1 \wedge x^2 + y^2 < 4 \}}\)


Ograniczoność: czy potrafisz podać przykłady punktów w tych zbiorach o module \(\displaystyle{ 10}\) ? \(\displaystyle{ 100}\) ? \(\displaystyle{ 1 \ 000 \ 000}\) ?

Otwartość i domkniętość: czy znasz twierdzenie mówiące, że przeciwobraz przez funkcję ciągłą dowolnego zbioru otwartego jest otwarty, a dowolnego zbioru domkniętego - domknięty?

Zwartość: czy wiesz, że zwarte podzbiory \(\displaystyle{ \RR^n}\) to dokładnie zbiory domknięte i ograniczone?
xdominika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 14 lis 2019, o 22:59
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 23 razy

Re: Podzbiory R.

Post autor: xdominika »

W \(\displaystyle{ \RR^{2} }\) już zrozumiałam, pomogło mi to, że sobie narysowałam te zbiory, jednak w \(\displaystyle{ \RR^{3} }\) nie potrafię sobie tego wyobrazić. Nie mam problemu z otwartością i domkniętością. Wiem, że zbiór zwarty musi być ograniczony i domknięty, jednak nie potrafię stwierdzić czy jest ograniczony i wypukły.
Ostatnio zmieniony 24 mar 2020, o 11:35 przez Dasio11, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Podzbiory R.

Post autor: Dasio11 »

W \(\displaystyle{ \RR^2}\) można tak:

- zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest ograniczony, bo dla każdego \(\displaystyle{ M > 0}\) punkt \(\displaystyle{ \left< -M, M \right>}\) należy do \(\displaystyle{ A}\) i jego odległość od zera jest większa niż \(\displaystyle{ M}\);
- zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest ograniczony, bo jest zawarty w kuli o środku w zerze i promieniu \(\displaystyle{ 4}\);
- zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest wypukły, co sprawdza się z definicji, korzystając z nierówności trójkąta;
- zbiór \(\displaystyle{ B}\) nie jest wypukły, bo jego cięcie w punkcie \(\displaystyle{ y = 0}\) to \(\displaystyle{ B^0 = \{ x \in \RR : 1 \le x^2 < 4 \}}\) i nie jest ono zbiorem wypukłym.

W \(\displaystyle{ \RR^3}\) wszystko robi się podobnie - spróbuj. Wyobrażenie sobie podanych zbiorów może Ci pomóc, ale nie jest wcale konieczne (a już w wymiarze \(\displaystyle{ 7}\) byłoby wręcz niemożliwe) - wystarczy tylko mądrze przerobić rozwiązanie z płaszczyzny tak, by działało dla przestrzeni trójwymiarowej.
xdominika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 14 lis 2019, o 22:59
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 23 razy

Re: Podzbiory R.

Post autor: xdominika »

Niestety, ale chyba jestem bardzo oporna na tego typu zadania, niezbyt mi to wychodzi tym sposobem, być może też przez to, że przez obecną sytuację mamy robić materiał sami :cry: Czy jest jakiś sposób, dzięki któremu praktycznie od ręki można stwierdzić czy zbiór jest ograniczony i wypukły?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Podzbiory R.

Post autor: Dasio11 »

Nie ma takiego sposobu - można jedynie wziąć do ręki definicję i próbować dowodzić, że zbiór ma taką czy inną własność. A skoro masz kłopot, to jednak spróbuj popracować wyobraźnią - zbiór \(\displaystyle{ A}\) wygląda w przestrzeni jak gruba płaszczyzna, a \(\displaystyle{ B}\) to zbiór powstały przez obrót poniższej figury płaskiej wokół pionowej osi:
figura.png
figura.png (12.84 KiB) Przejrzano 1056 razy

A w czym konkretnie jest problem? Nie rozumiesz podanych przeze mnie dowodów własności zbiorów w \(\displaystyle{ \RR^2}\), czy też nie potrafisz ich przerobić tak by działały w \(\displaystyle{ \RR^3}\) ?
xdominika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 14 lis 2019, o 22:59
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 23 razy

Re: Podzbiory R.

Post autor: xdominika »

Mam problem z \(\displaystyle{ R^{3} }\).
Ostatnio zmieniony 24 mar 2020, o 11:19 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: nie cytuj całego posta bezpośrednio nad Twoim.
ODPOWIEDZ