przestrzeń ilorazowa

[pow3r]

W topologii ilorazowej mamy dane \(\displaystyle{ \sim=\{(x,y)\in X^{2}|x=y}\) lub \(\displaystyle{ x,y=[0,1]\}}\) sprawdz czy relecja jest relacją równowazności.
Należy pokazać, że relacja jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, własności znam, ale nie wiem jak zastosować. Czy wystarczy tylko, że jeśli jest zwrotna to \(\displaystyle{ x=x}\), symetryczna to \(\displaystyle{ x=y}\)więc \(\displaystyle{ y=x}\)? czy jakoś inaczej należy to pokazać?

[Jan Kraszewski]

A mógłbyś sformułować to pytanie porządnie? Bo je nie rozumiem, co to znaczy

W topologii ilorazowej mamy dane \(\displaystyle{ \sim=\{(x,y)\in X^{2}|x=y}\) lub \(\displaystyle{ x,y=[0,1]\}}\)

Co to jest \(\displaystyle{ X}\) ? Co to znaczy "\(\displaystyle{ x,y=[0,1]}\)"? I co ta definicja ma mieć wspólnego z topologią ilorazową?

JK

[pow3r]

A mógłbyś sformułować to pytanie porządnie? Bo je nie rozumiem, co to znaczy

W topologii ilorazowej mamy dane \(\displaystyle{ \sim=\{(x,y)\in X^{2}|x=y}\) lub \(\displaystyle{ x,y\in[0,1]\}}\)

Co to jest \(\displaystyle{ X}\) ? Co to znaczy "\(\displaystyle{ x,y=[0,1]}\)"? I co ta definicja ma mieć wspólnego z topologią ilorazową?

JK

poprawione oraz \(\displaystyle{ X=[0,1]}\)

[Jan Kraszewski]

W topologii ilorazowej mamy dane \(\displaystyle{ \sim=\{(x,y)\in X^{2}|x=y\lor x,y\in[0,1]\}}\)

No to dalej niespecjalnie ma sens, bo w tym sformułowaniu \(\displaystyle{ \sim=[0,1]^2}\), czyli jest to relacja pełna (bo warunek \(\displaystyle{ x,y\in[0,1]}\) jest zawsze spełniony).

JK

[pow3r]

a gdyby X oznaczyć jako zbiór liczb rzeczywistych ?

[Jan Kraszewski]

To masz relację równoważności na \(\displaystyle{ \RR}\) (co pokazujesz korzystając z używanej przez siebie definicji relacji równoważności).

JK

[pow3r]

a jak to pokazać w metryce naturalnej?

należy wtedy skorzystać z tego?

identyczność nierozróżnialnych
\(\displaystyle{ {\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b}}\)
symetria
\(\displaystyle{ {\displaystyle d(a,b)=d(b,a)},}\)
nierówność trójkąta
\(\displaystyle{ {\displaystyle d(a,b)\leqslant d(a,c)+d(c,b).}}\)

[Jan Kraszewski]

a jak to pokazać w metryce naturalnej?

Co pokazać?!

JK

[pow3r]

ze zachodzi relacja równoważności

[Jan Kraszewski]

A co ma wspólnego metryka z relacją równoważności?!

JK