Zwartość przestrzeni metrycznej

[Karolinaa0]

Wykazać, że jeżeli w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (X, \rho)}\) istnieje ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})}\) spełniający warunek\(\displaystyle{ \exists_{r>0} \forall_{ m,n \in \mathbb{N}} \; \rho \left( x_{n}, x_{m} \right) \ge r,}\) to przestrzeń nie jest zwarta.

[matmatmm]

Wyczuwam drobny błąd w treści bowiem istnienie takiego ciągu prowadzi do sprzeczności w dowolnej przestrzeni :

\(\displaystyle{ 0=\rho(x_1,x_1)\geq r > 0}\)

Jeśli poprawimy treść założeniem \(\displaystyle{ n\neq m}\), to można na przykład wykazać, że żaden podciąg tego ciągu nie spełnia warunku Cauchy'ego.