Zadania przed kolokwium

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Zadania przed kolokwium

Post autor: Jakub Gurak »

Mam kilka(być może prostych) pytań, ale potrzebuje odpowiedzi natychmiast, jutro mam kolokwium, na konsultacje dzisiaj nie zdążyłem pójść, bo były rano.

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią topologiczną.

Wykazać, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B\subset X}\):

\(\displaystyle{ Int(A\cap B)=Int(A)\cap Int(B),}\)

gdzie \(\displaystyle{ Int(A)}\) oznacza wnętrze zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Dokładniej, chodzi o inkluzje (drugą mam) \(\displaystyle{ Int(A\cap B)\supset Int(A)\cap Int(B).
}\)


Czy można podać kontrprzykład do równości \(\displaystyle{ Int(A\cup B) =Int(A) \cup Int(B)?? }\)

Wykazać ,że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A\subset X, x\in X}\),mamy:

\(\displaystyle{ x\in\overline{A}}\), wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie otwarte punktu \(\displaystyle{ x}\) przecina zbiór \(\displaystyle{ A}\).

Wykazać, że domknięcie zbioru spójnego jest zbiorem spójnym( podzbiór \(\displaystyle{ Y}\) przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\) nazywamy podzbiorem niespójnym jezeli \(\displaystyle{ Y}\) jest niespójny w topologii podprzestrzeni. Przestrzeń topologiczną \(\displaystyle{ X}\) nazywamy przestrzenią niespójną, jeżeli \(\displaystyle{ X}\) da się przedstawić jako suma dwóch zbiorów otwartych, niepustych, rozłącznych. Przestrzeń spójna to taka, która nie jest niespójna. Zbiór spójny pewnie to taki, który nie jest niespójny).

Albo na wykładzie wyprowadzono inną (równoważną chyba) definicję zbioru \(\displaystyle{ Y\subset X}\) niespójnego w \(\displaystyle{ X}\), tzn. \(\displaystyle{ Y}\) jest niespójny, gdy istnieją zbiory otwarte \(\displaystyle{ U',V'}\) otwarte w \(\displaystyle{ X}\), takie, że

1.\(\displaystyle{ U'\cap Y \neq \left\{ \right\}, V' \cap Y \neq \left\{ \right\}. }\)
2.\(\displaystyle{ U' \cap V' \cap Y=\left\{ \right\}, }\)
3.\(\displaystyle{ Y \subset U'\cup V'. }\)

Wiele innych zadań mam zrobione, jeszcze tych mi brakuje.

Pytam serio, próbowałem je robić, ale mi nie wychodziło... Ja nie jestem pomysłowy. A teraz to już nie czas, żeby kombinować. A na kolokwium mogą się pojawić, zwłaszcza wnętrze, tak myślę.

Proszę o pomoc.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zadania przed kolokwium

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 20 sty 2020, o 22:13\(\displaystyle{ \Int(A\cap B) \supseteq \Int(A)\cap \Int(B),}\)
Masz \(\displaystyle{ \Int(A) \subseteq A}\) i \(\displaystyle{ \Int(B) \subseteq B}\), więc \(\displaystyle{ \Int(A)\cap \Int(B) \subseteq A\cap B}\). Zatem zbiór \(\displaystyle{ \Int(A)\cap \Int(B)}\) jest zbiorem otwartym (bo przekrój dwóch zbiorów otwartych jest otwarty), zawartym w \(\displaystyle{ A\cap B}\), a \(\displaystyle{ \Int(A\cap B)}\) jest z definicji największym zbiorem otwartym zawartym w \(\displaystyle{ A\cap B}\), zatem \(\displaystyle{ \Int(A\cap B) \supseteq \Int(A)\cap \Int(B)}\).
Jakub Gurak pisze: 20 sty 2020, o 22:13Czy można podać kontrprzykład do równości \(\displaystyle{ \Int(A\cup B) =\Int(A) \cup \Int(B)?? }\)
\(\displaystyle{ A=[0,1], B=[1,2]}\)

JK
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Zadania przed kolokwium

Post autor: Dasio11 »

Jakub Gurak pisze: 20 sty 2020, o 22:13Wykazać ,że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A\subset X, x\in X}\),mamy:

\(\displaystyle{ x\in\overline{A}}\), wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie otwarte punktu \(\displaystyle{ x}\) przecina zbiór \(\displaystyle{ A}\).
W obie strony przez kontrapozycję:
\(\displaystyle{ (\neg \implies \neg)}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ x \notin \overline{A}}\) Wtedy w oczywisty sposób \(\displaystyle{ U = X \setminus \overline{A}}\) jest otwartym otoczeniem \(\displaystyle{ x}\), które pusto kroi się z \(\displaystyle{ A}\).

\(\displaystyle{ (\neg \impliedby \neg)}\)
Załóżmy, że istnieje otoczenie otwarte \(\displaystyle{ x \in U \subseteq X}\) takie, że \(\displaystyle{ A \cap U = \varnothing}\). Wówczas \(\displaystyle{ X \setminus U}\) jest domkniętym nadzbiorem \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ \overline{A} \subseteq X \setminus U}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ x \notin \overline{A}}\).


Jakub Gurak pisze: 20 sty 2020, o 22:13Wykazać, że domknięcie zbioru spójnego jest zbiorem spójnym
Ogólniej: jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem spójnym, to każdy zbiór \(\displaystyle{ A \subseteq B \subseteq \overline{A}}\) jest spójny.

Dowód: załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ U, V \subseteq X}\) są takimi zbiorami otwartymi, że

(i) \(\displaystyle{ U \cap B \neq \varnothing \ \& \ V \cap B \neq \varnothing}\),
(ii) \(\displaystyle{ U \cap V \cap B = \varnothing}\),
(iii) \(\displaystyle{ B \subseteq U \cup V}\).

Wykażemy, że

(i') \(\displaystyle{ U \cap A \neq \varnothing \ \& \ V \cap A \neq \varnothing}\),
(ii') \(\displaystyle{ U \cap V \cap A = \varnothing}\),
(iii') \(\displaystyle{ A \subseteq U \cup V}\),

co jest sprzeczne ze spójnością \(\displaystyle{ A}\). Podpunkty (ii') i (iii') są oczywiste i ze względu na symetrię (i) wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ U \cap A \neq \varnothing}\). Wiemy, że istnieje \(\displaystyle{ b \in U \cap B}\). Wtedy \(\displaystyle{ b \in \overline{A}}\) oraz \(\displaystyle{ U}\) jest otwartym otoczeniem punktu \(\displaystyle{ b}\), więc \(\displaystyle{ U \cap A \neq \varnothing}\), co było do wykazania.
ODPOWIEDZ