Mam kilka(być może prostych) pytań, ale potrzebuje odpowiedzi natychmiast, jutro mam kolokwium, na konsultacje dzisiaj nie zdążyłem pójść, bo były rano.
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią topologiczną.
Wykazać, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B\subset X}\):
\(\displaystyle{ Int(A\cap B)=Int(A)\cap Int(B),}\)
gdzie \(\displaystyle{ Int(A)}\) oznacza wnętrze zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Dokładniej, chodzi o inkluzje (drugą mam) \(\displaystyle{ Int(A\cap B)\supset Int(A)\cap Int(B).
}\)
Czy można podać kontrprzykład do równości \(\displaystyle{ Int(A\cup B) =Int(A) \cup Int(B)?? }\)
Wykazać ,że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A\subset X, x\in X}\),mamy:
\(\displaystyle{ x\in\overline{A}}\), wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie otwarte punktu \(\displaystyle{ x}\) przecina zbiór \(\displaystyle{ A}\).
Wykazać, że domknięcie zbioru spójnego jest zbiorem spójnym( podzbiór \(\displaystyle{ Y}\) przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\) nazywamy podzbiorem niespójnym jezeli \(\displaystyle{ Y}\) jest niespójny w topologii podprzestrzeni. Przestrzeń topologiczną \(\displaystyle{ X}\) nazywamy przestrzenią niespójną, jeżeli \(\displaystyle{ X}\) da się przedstawić jako suma dwóch zbiorów otwartych, niepustych, rozłącznych. Przestrzeń spójna to taka, która nie jest niespójna. Zbiór spójny pewnie to taki, który nie jest niespójny).
Albo na wykładzie wyprowadzono inną (równoważną chyba) definicję zbioru \(\displaystyle{ Y\subset X}\) niespójnego w \(\displaystyle{ X}\), tzn. \(\displaystyle{ Y}\) jest niespójny, gdy istnieją zbiory otwarte \(\displaystyle{ U',V'}\) otwarte w \(\displaystyle{ X}\), takie, że
1.\(\displaystyle{ U'\cap Y \neq \left\{ \right\}, V' \cap Y \neq \left\{ \right\}. }\)
2.\(\displaystyle{ U' \cap V' \cap Y=\left\{ \right\}, }\)
3.\(\displaystyle{ Y \subset U'\cup V'. }\)
Wiele innych zadań mam zrobione, jeszcze tych mi brakuje.
Pytam serio, próbowałem je robić, ale mi nie wychodziło... Ja nie jestem pomysłowy. A teraz to już nie czas, żeby kombinować. A na kolokwium mogą się pojawić, zwłaszcza wnętrze, tak myślę.
Proszę o pomoc.
Zadania przed kolokwium
-
- Użytkownik
- Posty: 1392
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 83 razy
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Zadania przed kolokwium
Masz \(\displaystyle{ \Int(A) \subseteq A}\) i \(\displaystyle{ \Int(B) \subseteq B}\), więc \(\displaystyle{ \Int(A)\cap \Int(B) \subseteq A\cap B}\). Zatem zbiór \(\displaystyle{ \Int(A)\cap \Int(B)}\) jest zbiorem otwartym (bo przekrój dwóch zbiorów otwartych jest otwarty), zawartym w \(\displaystyle{ A\cap B}\), a \(\displaystyle{ \Int(A\cap B)}\) jest z definicji największym zbiorem otwartym zawartym w \(\displaystyle{ A\cap B}\), zatem \(\displaystyle{ \Int(A\cap B) \supseteq \Int(A)\cap \Int(B)}\).Jakub Gurak pisze: ↑20 sty 2020, o 22:13\(\displaystyle{ \Int(A\cap B) \supseteq \Int(A)\cap \Int(B),}\)
\(\displaystyle{ A=[0,1], B=[1,2]}\)Jakub Gurak pisze: ↑20 sty 2020, o 22:13Czy można podać kontrprzykład do równości \(\displaystyle{ \Int(A\cup B) =\Int(A) \cup \Int(B)?? }\)
JK
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Zadania przed kolokwium
W obie strony przez kontrapozycję:Jakub Gurak pisze: ↑20 sty 2020, o 22:13Wykazać ,że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A\subset X, x\in X}\),mamy:
\(\displaystyle{ x\in\overline{A}}\), wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie otwarte punktu \(\displaystyle{ x}\) przecina zbiór \(\displaystyle{ A}\).
\(\displaystyle{ (\neg \implies \neg)}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ x \notin \overline{A}}\) Wtedy w oczywisty sposób \(\displaystyle{ U = X \setminus \overline{A}}\) jest otwartym otoczeniem \(\displaystyle{ x}\), które pusto kroi się z \(\displaystyle{ A}\).
\(\displaystyle{ (\neg \impliedby \neg)}\)
Załóżmy, że istnieje otoczenie otwarte \(\displaystyle{ x \in U \subseteq X}\) takie, że \(\displaystyle{ A \cap U = \varnothing}\). Wówczas \(\displaystyle{ X \setminus U}\) jest domkniętym nadzbiorem \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ \overline{A} \subseteq X \setminus U}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ x \notin \overline{A}}\).
Ogólniej: jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem spójnym, to każdy zbiór \(\displaystyle{ A \subseteq B \subseteq \overline{A}}\) jest spójny.
Dowód: załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ U, V \subseteq X}\) są takimi zbiorami otwartymi, że
(i) \(\displaystyle{ U \cap B \neq \varnothing \ \& \ V \cap B \neq \varnothing}\),
(ii) \(\displaystyle{ U \cap V \cap B = \varnothing}\),
(iii) \(\displaystyle{ B \subseteq U \cup V}\).
Wykażemy, że
(i') \(\displaystyle{ U \cap A \neq \varnothing \ \& \ V \cap A \neq \varnothing}\),
(ii') \(\displaystyle{ U \cap V \cap A = \varnothing}\),
(iii') \(\displaystyle{ A \subseteq U \cup V}\),
co jest sprzeczne ze spójnością \(\displaystyle{ A}\). Podpunkty (ii') i (iii') są oczywiste i ze względu na symetrię (i) wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ U \cap A \neq \varnothing}\). Wiemy, że istnieje \(\displaystyle{ b \in U \cap B}\). Wtedy \(\displaystyle{ b \in \overline{A}}\) oraz \(\displaystyle{ U}\) jest otwartym otoczeniem punktu \(\displaystyle{ b}\), więc \(\displaystyle{ U \cap A \neq \varnothing}\), co było do wykazania.