zbiór Cantora

[malwinka1058]

Pokazać, że zbiór Cantora jest zwarty i nie jest spójny.

[Tmkk]

Zwarty - możesz pokazać, że jest ograniczony i domknięty.
Spójny - możesz spróbować naleźć przykład podziału zbioru Cantora na dwa zbiory otwarte.

[malwinka1058]

W jaki sposób znaleźć taki podział?

[Tmkk]

Jeśli \(\displaystyle{ C}\) to zbiór Cantora, czy na przykład zbiór \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{1}{4}\right) \cap C }\) jest otwarty?

[malwinka1058]

Wydaje mi się, że nie, np. pierwszy z przedziałów składowych jest z jednej strony otwarty (przy zerze), z drugiej domknięty

[Tmkk]

Czy wiesz jaką topologię w ogóle rozpatrujesz?

[malwinka1058]

Generowaną przez metrykę euklidesową

[Jan Kraszewski]

Generowaną przez metrykę euklidesową

Czyli topologię odziedziczoną z prostej rzeczywistej. Powinnaś zatem wiedzieć, że zbiór \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{1}{4}\right) \cap C}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ C}\). Choć akurat w tym wypadku lepiej wziąć zbór \(\displaystyle{ \left( -1, \frac{1}{2}\right) \cap C}\).

JK

[Tmkk]

Choć akurat w tym wypadku lepiej wziąć zbór \(\displaystyle{ \left( -1, \frac{1}{2}\right) \cap C}\).

Tak, oczywiście. Tamten zbiór był tylko przykładem, bo ciężko zrobić rozbicie na zbiory otwarty jak się nie wie, czym są zbiory otwarte :/

[Jan Kraszewski]

Tamten zbiór był tylko przykładem, bo ciężko zrobić rozbicie na zbiory otwarty jak się nie wie, czym są zbiory otwarte :/

Wiem, ale obawiałem się, że malwinka nie zorientuje się, że to tylko przykład.

JK

[malwinka1058]

Czy poprawne jest następujące rozumowanie?

Zbiór Cantora nie zawiera żadnego przedziału, natomiast na prostej euklidesowej zbiór jest spójny wtw. gdy jest przedziałem, zatem zbiór Cantora nie jest spójny.

[Jan Kraszewski]

To jest używanie armaty na komara.

JK

[Dasio11]

Jeśli jednak przyjrzysz się dowodowi charakteryzacji zbiorów spójnych, na którą się powołujesz, to bez trudu udowodnisz niespójność w przypadku szczególnym, tj. zbioru Cantora.