Pokaż, że C[0;1] jest ośrodkowa + drugie, podobne zadanie

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
brzoskwinka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 25 gru 2019, o 16:49
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Pokaż, że C[0;1] jest ośrodkowa + drugie, podobne zadanie

Post autor: brzoskwinka »

1.Pokaż, że \(\displaystyle{ C [0;1]}\) jest ośrodkowa
  • \(\displaystyle{ C [0; 1]}\) - przestrzeń funkcji ciągłych \(\displaystyle{ f: [0;1] \rightarrow \RR}\) (\(\displaystyle{ [0;1]}\) - zwarty odcinek prostej rzeczywistej)
  • przestrzeń ośrodkowa - taka p. metryczna, w której można znaleźć gęsty w niej, przeliczalny podzbiór
  • ten dowód jest podpunktem zadania dot. twierdzenia aproksymacyjnego Stone'a - Weierstrassa, w którym korzysta się z czegoś takiego:

    Kod: Zaznacz cały

    https://pl.wikipedia.org/wiki/Interpolacja_wielomianowa
2.Pokaż, że zbiór funkcji kawałkami liniowych jest gęsty w \(\displaystyle{ C [0;1]}\)

Moje wątpliwości - zastanawiając się nad tymi zadaniami, ciągle mam wrażenie, że to co mam dowieść nie jest prawdą, bo:
a. jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ B}\) to znaczy, że \(\displaystyle{ A}\) ma niepusty przekrój z dowolną otwartą kulą z \(\displaystyle{ B}\)
b. kule w p. funkcji ciągłych to takie "tunele" dookoła wykresu funkcji. Możemy opisać kulę na dowolnej funkcji z tej przestrzeni. Dowolnie małą.
c. Takie \(\displaystyle{ C[0;1]}\) jest nieprzeliczalne. Jak możemy znaleźć się dowolnie blisko obiektów z prz. nieprzeliczalnej czymś przeliczalnym?
Podobne rozumowanie w zadaniu 2. Jakoś zupełnie nie czuję tej ośrodkowości.

Z góry dzięki za pomoc :)
A jak coś jest nie tak zapisane, powiedzcie to poprawię (to mój pierwszy post).
Ostatnio zmieniony 25 gru 2019, o 17:36 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Umieszczaj w klamrach [latex][/latex] całe wyrażenia matematyczne.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Pokaż, że C[0;1] jest ośrodkowa + drugie, podobne zadanie

Post autor: Dasio11 »

brzoskwinka pisze: 25 gru 2019, o 17:17Moje wątpliwości - zastanawiając się nad tymi zadaniami, ciągle mam wrażenie, że to co mam dowieść nie jest prawdą, bo:
a. jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ B}\) to znaczy, że \(\displaystyle{ A}\) ma niepusty przekrój z dowolną otwartą kulą z \(\displaystyle{ B}\)
b. kule w p. funkcji ciągłych to takie "tunele" dookoła wykresu funkcji. Możemy opisać kulę na dowolnej funkcji z tej przestrzeni. Dowolnie małą.
c. Takie \(\displaystyle{ C[0;1]}\) jest nieprzeliczalne. Jak możemy znaleźć się dowolnie blisko obiektów z prz. nieprzeliczalnej czymś przeliczalnym?
Podobne rozumowanie w zadaniu 2. Jakoś zupełnie nie czuję tej ośrodkowości.
Te same argumenty można by wysunąć przeciwko tezie, że liczby wymierne leżą gęsto w liczbach rzeczywistych - a oczywiście jest to teza prawdziwa.

Odnośnie zadania - ośrodkiem jest zbiór wszystkich funkcji wielomianowych \(\displaystyle{ w : [0, 1] \to \RR}\) o współczynnikach wymiernych. Łatwo zobaczyć, że jest to zbiór przeliczalny, a ze wspomnianego twierdzenia Stone'a-Weierstrassa wynika, że jest to gęsty podzbiór \(\displaystyle{ C[0, 1]}\).
ODPOWIEDZ