Długość okręgu

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Długość okręgu

Post autor: arek1357 »

Dana jest płaszczyzna \(\displaystyle{ \RR^2}\) , oraz okrąg o środku \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\).

Oblicz jego długość w metryce rzeka lub kolejowej lub taksówkowej...
Ostatnio zmieniony 24 gru 2019, o 02:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Długość okręgu

Post autor: a4karo »

W taksowkowej 8, w pozostałych nieskończoność
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Długość okręgu

Post autor: arek1357 »

Dobre zadanie w sumie na zajęciach chyba nikt nie zadaje tego typu zadań aby obliczyć jakąś krzywą , więc przełamałem tę zmowę milczenia, można iść dalej liczyć parabole , itd... dobre zadanie , zwykle wykładowca pokaże jakie są kule w tychże metrykach i sprawa się zamyka , ale jak widać można iść dalej...

Dodano po 13 godzinach 2 minutach 47 sekundach:
Dodam jeszcze , że w podręcznikach na temat metryk powinno się poruszać tematykę długości właśnie krzywych, jest to temat dziewiczy i ciekawy,
Według tego co napisał np. a4karo w metryce rzeka nie da się normalnie przejść po okręgu bo droga jest po prostu nieskończona...

Do liczenia długości krzywych w metrykach można by ogólnie stosować rachunek różniczkowy, no bo z tym moim okręgiem sprawa prosta przybliżamy go wielokątami foremnymi i liczymy granicę, ale w ogólnym przypadku rachunek różniczkowy wyda się raczej nieodzowny...
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

Re: Długość okręgu

Post autor: krl »

Temat jest dziewiczy, bo bez sensu. Okrąg nie jest krzywą (nawet w sensie Jordana) na płaszczyźnie z metryką rzeka lub kolejową, więc bez sensu jest pytać się o jego długość tamże. To tak, jakby się pytać o długość zbioru Cantora na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\).
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Długość okręgu

Post autor: arek1357 »

Nie do końca bo zbiór Cantora jest miary zero w sensie Lebesgue’a
Okrąg nie jest krzywą


Nie było istotne czym on jest do końca tylko zastanawiałem się głośno o wyznaczenie długości tego okręgu...

I próbowałem tak:

\(\displaystyle{ A(x,y) , B(x+dx,y+y'dx)}\)

dwa "blisko" leżące punkty na krzywej w sensie np. metryki miasto :

\(\displaystyle{ d(A,B)=|dx|+|y'dy|}\)

Gdy scałkujemy to w przedziale od zera do jeden otrzymamy dokładnie dwa co wyjdzie długość ćwiartki okręgu...,
a cały okrąg będzie miał osiem w tym wypadku, itd...

Ja właśnie myślałem o takie konstrukcji długości krzywych...

Więc jakiś sens to chyba ma...

Dodano po 1 godzinie 21 minutach 43 sekundach:
W metryce np.: "rzeka"

Mamy "różniczkę":

\(\displaystyle{ d(A,B)=y+dx+|y+y'dx|}\)

Cojak widać , jeżeli zaczniemy sumować w jakimś przedziale np.: \(\displaystyle{ <0;1>}\) może być to okrąg , lub np. parabola , i tak jak pisał a4karo wyjdzie jak widać nieskończoność czy przyjmiemy że ta krzywa to kawałek łuku okręgu czy jeszcze prościej parabola...

wtedy \(\displaystyle{ y=x^2}\) i nieskończoność jak byk wyjdzie...

W kolejowej to samo...,

Można zapytać jaka krzywa ma długośc \(\displaystyle{ < \infty }\) np w metryce rzeka...

Wniosek w metryce rzeka nikt nie przejdzie okręgu
ODPOWIEDZ