Łukowa spójność

[bnyh6]

Udowodnić, że każda przestrzeń wektorowa (liniowa) unormowana jest przestrzenią łukowo spójną, a więc spójną (z topologią normy).

[matmatmm]

Bierzemy dwa różne punkty \(\displaystyle{ x,y\in X}\) i definiujemy funkcję \(\displaystyle{ f:[0,1]\rightarrow X}\) wzorem \(\displaystyle{ f(t)=tx+(1-t)y}\).

[Gosda]

A co, jeśli nasza przestrzeń liniowa nie jest nad ciałem liczb rzeczywistych?

[matmatmm]

Nie widzę problemu. Tak czy inaczej ta funkcja jest homeomorfizmem na swój zbiór wartości. Czy może nie?

[Gosda]

Ta funkcja ma sens tak długo, jak wektory można mnożyć przez liczby rzeczywiste, czyli ciało liczb rzeczywistych zanurza się w ciało, nad którym rozpatrujemy przestrzeń. Chyba że czegoś nie pamietam z kursu analizy funkcjonalnej?

[Dasio11]

Definicji przestrzeni unormowanej? ;P

[Gosda]

Sprawdziłem: unormowana przestrzeń liniowa to przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, na której określona jest norma, pewna funkcja spełniająca m.in. nierówność trójkąta Racja.