Spójność

[bnyh6]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ X, Y}\)- przestrzenie topologiczne, \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y, A \subset X, B \subset Y }\)- niepuste zbiory spójne.
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ A \cap f^{-1}(B) \neq \emptyset}\), to \(\displaystyle{ f(A) \cup \overline{B} }\) jest zbiorem spójnym.

[Dasio11]

Potrzebne fakty:
- obraz zbioru spójnego przez funkcję ciągłą jest zbiorem spójnym;
- domknięcie zbioru spójnego jest zbiorem spójnym;
- suma dowolnej niepustej rodziny zbiorów spójnych o niepustym przekroju jest zbiorem spójnym.

Widzisz, w jaki sposób wynika z nich teza zadania?

[bnyh6]

Niestety nie

[Dasio11]

Przy założeniach zadania:
- zbiór \(\displaystyle{ f[A]}\) jest spójny, bo jest obrazem zbioru spójnego \(\displaystyle{ A}\) przez funkcję ciągłą;
- zbiór \(\displaystyle{ \overline{B}}\) jest spójny, bo jest domknięciem zbioru spójnego \(\displaystyle{ B}\);
- zbiór \(\displaystyle{ f[A] \cup \overline{B}}\) jest spójny, bo jest sumą dwóch zbiorów spójnych o niepustym przekroju, co wynika z założenia że \(\displaystyle{ A \cap f^{-1}[{B}] \neq \varnothing}\).