Opisz zbiory domkniete według topologii

[Kate2410]

Niech \(\displaystyle{ n \in \NN.}\) Dla ustalonego \(\displaystyle{ n }\) definiujemy zbiory \(\displaystyle{ A _{n}=\left\{ n,n+1,n+2,...\right\} }\) . Okreslamy rodzinę \(\displaystyle{ t}\) następująco \(\displaystyle{ t=\left\{\emptyset ,A _{n} , n \in \NN \right\} }\)

a) Opisz zbiory domknięte według topologii \(\displaystyle{ t}\).
Kompletnie nie wiem jak to trzeba zrobić

b) Czy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 1,3,5,7,...\right\} }\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ t}\)?
Nie jest bo nie należy o \(\displaystyle{ t}\) (dobrze myślę?)
c) Okresl wnętrze i domknięcie dla \(\displaystyle{ A=\left\{ 4\right\}, B=\left\{ 2,4,6,8,...\right\} }\)
\(\displaystyle{ \Int A=\emptyset, \cl A=\left\{ 4\right\} }\) i \(\displaystyle{ \Int B=\emptyset, \cl B=\left\{ 2,3,4,5,6,7,...\right\} }\) (dobrze?)

[Jan Kraszewski]

Okreslamy rodzinę \(\displaystyle{ t}\) następująco \(\displaystyle{ t=\left\{\emptyset ,A _{n} , n \in \NN \right\} }\)

Paskudny zapis. Powinno być \(\displaystyle{ t=\left\{\emptyset\}\cup\{A _{n} : n \in \NN \right\}. }\) No i wypadałoby napisać, że określamy topologię na \(\displaystyle{ \NN.}\)

a) Opisz zbiory domknięte według topologii \(\displaystyle{ t}\).
Kompletnie nie wiem jak to trzeba zrobić

Zbiory domknięte to dopełnienia zbiorów otwartych.

b) Czy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 1,3,5,7,...\right\} }\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ t}\)?
Nie jest bo nie należy o \(\displaystyle{ t}\) (dobrze myślę?)

Tak.

c) Okresl wnętrze i domknięcie dla \(\displaystyle{ A=\left\{ 4\right\}, B=\left\{ 2,4,6,8,...\right\} }\)
\(\displaystyle{ \Int A=\emptyset, \cl A=\left\{ 4\right\} }\) i \(\displaystyle{ \Int B=\emptyset, \cl B=\left\{ 2,3,4,5,6,7,...\right\} }\) (dobrze?)

Wnętrza dobrze, domknięcia źle.

JK

[Kate2410]

Zbiory domknięte to dopełnienia zbiorów otwartych.

Wnętrza dobrze, domknięcia źle.

Czyli zbiory domknięte można zapisać jako \(\displaystyle{ X \setminus B,B \in t\ \ X \setminus t}\)? A \(\displaystyle{ X}\) w naszym przypadku to \(\displaystyle{ \NN}\)?

Czyli jak powinny wyglądać domknięcia?

[Jan Kraszewski]

Czyli zbiory domknięte można zapisać jako \(\displaystyle{ X \setminus B,B \in t\ \ X \setminus t}\)?

Poza tym, że nie mam pojęcia, co to jest \(\displaystyle{ X \setminus t}\), to tak.

A \(\displaystyle{ X}\) w naszym przypadku to \(\displaystyle{ \NN}\)?

Tak.

Czyli jak powinny wyglądać domknięcia?

Domknięcie zbioru \(\displaystyle{ A}\) to najmniejszy zbiór domknięty zawierający zbiór \(\displaystyle{ A}\).

JK

[Kate2410]

Poza tym, że nie mam pojęcia, co to jest \(\displaystyle{ X \setminus t}\), to tak.

Domknięcie zbioru \(\displaystyle{ A}\) to najmniejszy zbiór domknięty zawierający zbiór \(\displaystyle{ A}\).

Czyli domknięciem \(\displaystyle{ \left\{ 2,4,6,8,..\right\} }\) będzie \(\displaystyle{ \NN }\) ?
Natomiast domknięciem \(\displaystyle{ \left\{ 4\right\} }\) będzie \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4\right\} }\)?

A jak można zapisac inaczej te zbiory domkniete ?

I mam jeszcze jedno pytanie jak mam topologie indukowaną \(\displaystyle{ t _{A} }\) i mam podane że \(\displaystyle{ A=(0,1]}\) i mam znależć domknięcie zbioru \(\displaystyle{ (0, \frac{1}{2}) }\) względem tej topologii to będzie zbiór \(\displaystyle{ \RR \setminus [ \frac{1}{2}, 1] }\)?

[Jan Kraszewski]

Czyli domknięciem \(\displaystyle{ \left\{ 2,4,6,8,..\right\} }\) będzie \(\displaystyle{ \NN }\) ?
Natomiast domknięciem \(\displaystyle{ \left\{ 4\right\} }\) będzie \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4\right\} }\)?

O ile \(\displaystyle{ 0\notin \NN}\), to tak.

A jak można zapisac inaczej te zbiory domkniete ?

Jakie TE? Co to znaczy "inaczej"?

I mam jeszcze jedno pytanie jak mam topologie indukowaną \(\displaystyle{ t _{A} }\) i mam podane że \(\displaystyle{ A=(0,1]}\) i mam znależć domknięcie zbioru \(\displaystyle{ (0, \frac{1}{2}) }\) względem tej topologii to będzie zbiór \(\displaystyle{ \RR \setminus [ \frac{1}{2}, 1] }\)?

No skąd. Twoim całym światem jest \(\displaystyle{ A}\) i nie możesz poza niego wyjść. Poza tym chyba mylisz domknięcie z dopełnieniem.

JK

[Kate2410]

No skąd. Twoim całym światem jest \(\displaystyle{ A}\) i nie możesz poza niego wyjść. Poza tym chyba mylisz domknięcie z dopełnieniem.

Czyli będzie po prostu \(\displaystyle{ (0, \frac{1}{2} ]}\) czy jeszcze cos innego ?

[Jan Kraszewski]

Czyli będzie po prostu \(\displaystyle{ (0, \frac{1}{2} ]}\)

Tak.

JK