Kula otwarta w przestrzeni metrycznej

[Karolinaa0]

Zbadać jakimi zbiorami są kule otwarte w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ \left( \mathbb{R}, \rho \right) }\), gdzie dla \(\displaystyle{ x=\left( x _{1}, x _{2} \right) }\) i \(\displaystyle{ y=\left( y _{1}, y _{2} \right) }\) \(\displaystyle{ \rho\left( x,y\right)= \begin{cases} \left| x_{1}-y _{2} \right| + \left| x _{1} \right|+ \left| y _{2} \right|, x\neq y \\ 0, x=y \end{cases} }\)
Która z metryk jest silniejsza: rzeki czy powyższa? Odpowiedź uzasadnić.

[Gosda]

Taka definicja nie ma sensu, metryka ma być funkcją mierzącą odległości między dwoma punktami prostej, natomiast u Ciebie

\(\displaystyle{ x = (x_1, x_2)}\)

nie wygląda jak punkt prostej.

[Jan Kraszewski]

Zapewne miało być \(\displaystyle{ \left( \mathbb{R}^2, \rho \right)}\).

JK

[Gosda]

Ale wtedy to nie jest przestrzeń metryczna, bo

\(\displaystyle{ \rho((0,2), (3, 0)) = |0-0| + |0| + |0| = 0}\)

I właśnie dlatego wydaje mi się, że potrzebna jest jakaś poprawka w treści zadania.