Ciągłość funkcji

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
mat123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 18 mar 2019, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Ciągłość funkcji

Post autor: mat123 »

Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\)- przestrzeń metryczna, \(\displaystyle{ K, L \subset X}\) - domknięte i rozłączne.
Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \left[ 0,1\right] }\) określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{d(x,K)}{d(x,K)+d(x,L)} }\) jest ciągła.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Ciągłość funkcji

Post autor: Dasio11 »

Teza łatwo wynika z faktu, że dla dowolnego niepustego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) funkcja \(\displaystyle{ g(x) = d(x, A)}\) jest ciągła. Warto by też wspomnieć, dlaczego mianownik ułamka danego w definicji \(\displaystyle{ f(x)}\) nie zeruje się dla żadnego \(\displaystyle{ x \in X}\).
mat123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 18 mar 2019, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Re: Ciągłość funkcji

Post autor: mat123 »

Wystarczy po prostu skorzystać z faktu, że suma i iloraz (o ile mianownik różny od zera) funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Ciągłość funkcji

Post autor: Dasio11 »

Tak.
ODPOWIEDZ