Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\)- przestrzeń metryczna, \(\displaystyle{ K, L \subset X}\) - domknięte i rozłączne.
Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \left[ 0,1\right] }\) określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{d(x,K)}{d(x,K)+d(x,L)} }\) jest ciągła.
Ciągłość funkcji
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Ciągłość funkcji
Teza łatwo wynika z faktu, że dla dowolnego niepustego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) funkcja \(\displaystyle{ g(x) = d(x, A)}\) jest ciągła. Warto by też wspomnieć, dlaczego mianownik ułamka danego w definicji \(\displaystyle{ f(x)}\) nie zeruje się dla żadnego \(\displaystyle{ x \in X}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 18 mar 2019, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
Re: Ciągłość funkcji
Wystarczy po prostu skorzystać z faktu, że suma i iloraz (o ile mianownik różny od zera) funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą?