Lemat Urysohna

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Lemat Urysohna

Post autor: malwinka1058 »

W jaki sposób wykonać dowód lematu Urysohna dla przestrzeni metrycznych? Gdzie można znaleźć jakieś wskazówki?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Lemat Urysohna

Post autor: Jan Kraszewski »

A zajrzałaś do jakiegoś podręcznika topologii?

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Lemat Urysohna

Post autor: Jakub Gurak »

Tak się dobrze sklada, że miałem to niedawno na studiach- ale dowodu nie studiowałem- także nie pomogę. Ale mogę spróbować objaśnić treść tego twierdzenia(w topologii naturalnej na prostej).

Lemat Urysohna mówi, że jeśli mamy dwa zbiory domknięte rozłączne \(\displaystyle{ A,B\subset\RR }\), to istnieje funkcja ciągła \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \left[ 0,1\right], }\) która na pierwszym zbiorze \(\displaystyle{ A}\) jest stale równa \(\displaystyle{ 0}\), a na drugim zbiorze \(\displaystyle{ B}\) jest stale równa \(\displaystyle{ 1}\) i funkcja jest ciągła.

Początkowo mi się to wydawało niedorzeczne, ale teraz już chyba rozumiem (w topologii naturalnej na prostej) taka funkcja ciągła jest zupełnie naturalna, co przedstawia poniższa ilustracja- problem z ciągłością funkcji mógłby być gdyby jeden z tych zbiorów był sumą skończenie wiele zbiorów, z których jeden byłby przedziałem z lewej strony otwartym- no tak, wtedy mógłby być problem z ciągłością funkcji, no tak ale takie zbiory nie są domknięte, więc takie przypadki możemy wykluczyć. Wobec czego kolejny fragment zbioru musi się zaczynać na silnie większym argumencie niż ostatni rozważany, a dzięki temu można je połączyć funkcją ciągłą. Przedstawia to ilustracja: :lol:

Chyba o to tu chodzi.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Lemat Urysohna

Post autor: Dasio11 »

Dowód dla przestrzeni normalnych wymaga trochę pracy, ale dla przestrzeni metrycznych jest trywialny: jeśli \(\displaystyle{ A, B \subseteq X}\) są rozłącznymi zbiorami domkniętymi, to wzór

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{d(x, A)}{d(x, A) + d(x, B)}}\)

definiuje funkcję ciągłą \(\displaystyle{ f : X \to [0, 1]}\), taką że \(\displaystyle{ f \upharpoonright A \equiv 0}\) oraz \(\displaystyle{ f \upharpoonright B \equiv 1}\).

Jakub Gurak pisze: 26 lis 2019, o 21:16problem z ciągłością funkcji mógłby być gdyby jeden z tych zbiorów był sumą skończenie wiele zbiorów, z których jeden byłby przedziałem z lewej strony otwartym- no tak, wtedy mógłby być problem z ciągłością funkcji, no tak ale takie zbiory nie są domknięte, więc takie przypadki możemy wykluczyć. Wobec czego kolejny fragment zbioru musi się zaczynać na silnie większym argumencie niż ostatni rozważany, a dzięki temu można je połączyć funkcją ciągłą. Przedstawia to ilustracja: :lol:
Ale wiesz zapewne, że nie każdy domknięty podzbiór prostej jest sumą skończenie wielu przedziałów domkniętych?
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Lemat Urysohna

Post autor: Jakub Gurak »

Dasio11 pisze: 26 lis 2019, o 23:54 jeśli \(\displaystyle{ A, B \subseteq X}\) są rozłącznymi zbiorami domkniętymi, to wzór

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{d(x, A)}{d(x, A) + d(x, B)}}\)

definiuje funkcję ciągłą \(\displaystyle{ f : X \to [0, 1]}\), taką że \(\displaystyle{ f \upharpoonright A \equiv 0}\) oraz \(\displaystyle{ f \upharpoonright B \equiv 1}\)
Możesz przypomnieć jak definiujesz odległość punktu od zbioru :?:
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Lemat Urysohna

Post autor: Gosda »

Kres dolny odległości między punktem, a punktami zbioru.
ODPOWIEDZ