Odległość punktu od zbioru

[malwinka1058]

Udowodnić, że funkcja \(\displaystyle{ d_{A}: X \rightarrow \mathbb{R}}\) taka, że \(\displaystyle{ d_{A}(x)=d(x,A)}\) jest ciągła.

\(\displaystyle{ (d(x,A)=\inf\left\{ d(x,a): a \in A\right\} )}\)

[Tmkk]

Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\). Bierzemy ciąg \(\displaystyle{ x_n \to x}\), tzn dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ d\left(x_n,x\right) < \varepsilon}\).
Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ \left| d(x_n,A) - d(x,A) \right| < \varepsilon }\), a to wynika w dwie linijki z nierówności trójkąta. Spróbuj dopracować szczegóły.