Strona 1 z 1

II aksjomat przeliczalnośći

: 10 lis 2019, o 15:26
autor: malwinka1058
Pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R^{2}}}\) z topologią generowaną przez metrykę "rzekę" nie spełnia II aksjomatu przeliczalności (przestrzeń ta nie ma przeliczalnej bazy).

Re: II aksjomat przeliczalnośći

: 10 lis 2019, o 16:11
autor: Premislav
Wskazówka: spróbuj wskazać nieprzeliczalnie wiele parami rozłącznych zbiorów otwartych w tej przestrzeni. Nie jest to trudne, jeśli wiesz, jak wyglądają zbiory otwarte w metryce rzeka.

Re: II aksjomat przeliczalnośći

: 10 lis 2019, o 18:52
autor: malwinka1058
W zależności od wyboru środka i promienia kule w tej metryce mają różne kształty, jednak w każdym przypadku aby pokryć całą płaszczyznę, potrzeba kule o ustalonym promieniu i środkach we wszystkich punktach należących do płaszczyzny (?)
Płaszczyzna jest nieprzeliczalna, zatem baza również
Czy dobrze rozumiem?

Re: II aksjomat przeliczalnośći

: 10 lis 2019, o 21:47
autor: Premislav
Nie za bardzo. :(

Re: II aksjomat przeliczalnośći

: 10 lis 2019, o 22:04
autor: malwinka1058
Jak więc to uzasadnić? :cry:

Re: II aksjomat przeliczalnośći

: 10 lis 2019, o 22:20
autor: Jan Kraszewski
Premislav pisze:
10 lis 2019, o 16:11
Wskazówka: spróbuj wskazać nieprzeliczalnie wiele parami rozłącznych zbiorów otwartych w tej przestrzeni.
A rozumiesz tę wskazówkę?

JK

Re: II aksjomat przeliczalnośći

: 10 lis 2019, o 23:08
autor: malwinka1058
Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul? Jak to formalnie zapisać?

Re: II aksjomat przeliczalnośći

: 10 lis 2019, o 23:21
autor: Dasio11
A wiesz już, jakie to kule?

Re: II aksjomat przeliczalnośći

: 10 lis 2019, o 23:21
autor: Jan Kraszewski
malwinka1058 pisze:
10 lis 2019, o 23:08
Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul?
A wiesz, dlaczego to wystarczy?
malwinka1058 pisze:
10 lis 2019, o 23:08
Jak to formalnie zapisać?
Normalnie, trzeba po prostu wskazać te zbiory. Może zacznij od dwóch.

Oczywiście rozumiem, że masz jakoś ustaloną "rzekę" (np. jako oś OX).

JK

Re: II aksjomat przeliczalnośći

: 11 lis 2019, o 00:51
autor: malwinka1058
Jan Kraszewski pisze:
10 lis 2019, o 23:21
malwinka1058 pisze:
10 lis 2019, o 23:08
Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul?
A wiesz, dlaczego to wystarczy?
malwinka1058 pisze:
10 lis 2019, o 23:08
Jak to formalnie zapisać?
Normalnie, trzeba po prostu wskazać te zbiory. Może zacznij od dwóch.

Oczywiście rozumiem, że masz jakoś ustaloną "rzekę" (np. jako oś OX).

JK

Ponieważ wszystkie zbiory otwarte (kule) to sumy elementów z bazy.

Tak, rzeka to oś OX.

np. \(\displaystyle{ B((a,b),r)=\left\{ (a,y)\in\mathbb{R^{2}}: \left| y-b\right| <r \right\} }\) - jeden z występujących kształtów kul

Re: II aksjomat przeliczalnośći

: 11 lis 2019, o 01:01
autor: Premislav
To teraz weź jakieś ustalone \(\displaystyle{ y}\) i tak dobrane \(\displaystyle{ r}\), by \(\displaystyle{ y-r\ge 0 \vee y+r\le 0}\) (to w prosty sposób zapewni rozłączność) i dla tychże \(\displaystyle{ y,r}\) określ taki zbiór kul, jak podałaś, gdzie wartości \(\displaystyle{ a}\) przebiegają jakiś miły zbiór nieprzeliczalny…

Re: II aksjomat przeliczalnośći

: 11 lis 2019, o 11:39
autor: malwinka1058
Co wówczas z ze współrzędną b środka w tym zapisie?

Dodano po 14 minutach 39 sekundach:
Rozważmy kule następującej postaci: \(\displaystyle{ B_{a}((a,b),r)=\left\{ (a,y)\in\mathbb{R^{2}}: \left| y-b\right| <r \right\} }\)
Dobierając \(\displaystyle{ r}\) w ten sposób, aby \(\displaystyle{ r<\left| b\right| (r-b<0 \vee r+b>0)}\) otrzymujemy kule parami rozłączne. Przechodząc z \(\displaystyle{ a}\) po wartościach rzeczywistych, otrzymujemy nieprzeliczalnie wiele (bo \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) rozłącznych kul. Wszystkie zbiory otwarte (kule) są sumami elementów z bazy (el. bazy są tego samego kształtu), więc baza ta jest nieprzeliczalna.

Czy tak?

Re: II aksjomat przeliczalnośći

: 11 lis 2019, o 12:36
autor: a4karo
Jak się podaje przykład, to fajnie, żeby był maksymalnie przejrzysty. Odcinki \(I_a=((a,1/2),(a,3/2))\) są rozłącznymi kulami w rzece. Ile ich jest?

Re: II aksjomat przeliczalnośći

: 11 lis 2019, o 12:46
autor: malwinka1058
Nieprzeliczalnie wiele, bo \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\)?