Matematyka.pl

Pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R^{2}}}\) z topologią generowaną przez metrykę "rzekę" nie spełnia II aksjomatu przeliczalności (przestrzeń ta nie ma przeliczalnej bazy).

Wskazówka: spróbuj wskazać nieprzeliczalnie wiele parami rozłącznych zbiorów otwartych w tej przestrzeni. Nie jest to trudne, jeśli wiesz, jak wyglądają zbiory otwarte w metryce rzeka.

W zależności od wyboru środka i promienia kule w tej metryce mają różne kształty, jednak w każdym przypadku aby pokryć całą płaszczyznę, potrzeba kule o ustalonym promieniu i środkach we wszystkich punktach należących do płaszczyzny (?)
Płaszczyzna jest nieprzeliczalna, zatem baza również
Czy dobrze rozumiem?

Nie za bardzo.

Jak więc to uzasadnić?

Premislav pisze: ↑10 lis 2019, o 16:11Wskazówka: spróbuj wskazać nieprzeliczalnie wiele parami rozłącznych zbiorów otwartych w tej przestrzeni.

A rozumiesz tę wskazówkę?

JK

Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul? Jak to formalnie zapisać?

A wiesz już, jakie to kule?

malwinka1058 pisze: ↑10 lis 2019, o 23:08Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul?

A wiesz, dlaczego to wystarczy?

malwinka1058 pisze: ↑10 lis 2019, o 23:08Jak to formalnie zapisać?

Normalnie, trzeba po prostu wskazać te zbiory. Może zacznij od dwóch.

Oczywiście rozumiem, że masz jakoś ustaloną "rzekę" (np. jako oś OX).

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑10 lis 2019, o 23:21

malwinka1058 pisze: ↑10 lis 2019, o 23:08Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul?

A wiesz, dlaczego to wystarczy?

malwinka1058 pisze: ↑10 lis 2019, o 23:08Jak to formalnie zapisać?

Normalnie, trzeba po prostu wskazać te zbiory. Może zacznij od dwóch.

Oczywiście rozumiem, że masz jakoś ustaloną "rzekę" (np. jako oś OX).

JK

Ponieważ wszystkie zbiory otwarte (kule) to sumy elementów z bazy.

Tak, rzeka to oś OX.

np. \(\displaystyle{ B((a,b),r)=\left\{ (a,y)\in\mathbb{R^{2}}: \left| y-b\right| <r \right\} }\) - jeden z występujących kształtów kul

To teraz weź jakieś ustalone \(\displaystyle{ y}\) i tak dobrane \(\displaystyle{ r}\), by \(\displaystyle{ y-r\ge 0 \vee y+r\le 0}\) (to w prosty sposób zapewni rozłączność) i dla tychże \(\displaystyle{ y,r}\) określ taki zbiór kul, jak podałaś, gdzie wartości \(\displaystyle{ a}\) przebiegają jakiś miły zbiór nieprzeliczalny…

Co wówczas z ze współrzędną b środka w tym zapisie?

Dodano po 14 minutach 39 sekundach:
Rozważmy kule następującej postaci: \(\displaystyle{ B_{a}((a,b),r)=\left\{ (a,y)\in\mathbb{R^{2}}: \left| y-b\right| <r \right\} }\)
Dobierając \(\displaystyle{ r}\) w ten sposób, aby \(\displaystyle{ r<\left| b\right| (r-b<0 \vee r+b>0)}\) otrzymujemy kule parami rozłączne. Przechodząc z \(\displaystyle{ a}\) po wartościach rzeczywistych, otrzymujemy nieprzeliczalnie wiele (bo \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) rozłącznych kul. Wszystkie zbiory otwarte (kule) są sumami elementów z bazy (el. bazy są tego samego kształtu), więc baza ta jest nieprzeliczalna.

Czy tak?

Jak się podaje przykład, to fajnie, żeby był maksymalnie przejrzysty. Odcinki \(I_a=((a,1/2),(a,3/2))\) są rozłącznymi kulami w rzece. Ile ich jest?

Nieprzeliczalnie wiele, bo \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\)?