II aksjomat przeliczalnośći
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
II aksjomat przeliczalnośći
Pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R^{2}}}\) z topologią generowaną przez metrykę "rzekę" nie spełnia II aksjomatu przeliczalności (przestrzeń ta nie ma przeliczalnej bazy).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: II aksjomat przeliczalnośći
Wskazówka: spróbuj wskazać nieprzeliczalnie wiele parami rozłącznych zbiorów otwartych w tej przestrzeni. Nie jest to trudne, jeśli wiesz, jak wyglądają zbiory otwarte w metryce rzeka.
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Re: II aksjomat przeliczalnośći
W zależności od wyboru środka i promienia kule w tej metryce mają różne kształty, jednak w każdym przypadku aby pokryć całą płaszczyznę, potrzeba kule o ustalonym promieniu i środkach we wszystkich punktach należących do płaszczyzny (?)
Płaszczyzna jest nieprzeliczalna, zatem baza również
Czy dobrze rozumiem?
Płaszczyzna jest nieprzeliczalna, zatem baza również
Czy dobrze rozumiem?
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Re: II aksjomat przeliczalnośći
Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul? Jak to formalnie zapisać?
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: II aksjomat przeliczalnośći
A wiesz, dlaczego to wystarczy?malwinka1058 pisze: ↑10 lis 2019, o 23:08Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul?
Normalnie, trzeba po prostu wskazać te zbiory. Może zacznij od dwóch.
Oczywiście rozumiem, że masz jakoś ustaloną "rzekę" (np. jako oś OX).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Re: II aksjomat przeliczalnośći
Jan Kraszewski pisze: ↑10 lis 2019, o 23:21A wiesz, dlaczego to wystarczy?malwinka1058 pisze: ↑10 lis 2019, o 23:08Trzeba pokazać, że jest nieprzeliczalnie wiele rozłącznych kul?
Normalnie, trzeba po prostu wskazać te zbiory. Może zacznij od dwóch.
Oczywiście rozumiem, że masz jakoś ustaloną "rzekę" (np. jako oś OX).
JK
Ponieważ wszystkie zbiory otwarte (kule) to sumy elementów z bazy.
Tak, rzeka to oś OX.
np. \(\displaystyle{ B((a,b),r)=\left\{ (a,y)\in\mathbb{R^{2}}: \left| y-b\right| <r \right\} }\) - jeden z występujących kształtów kul
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: II aksjomat przeliczalnośći
To teraz weź jakieś ustalone \(\displaystyle{ y}\) i tak dobrane \(\displaystyle{ r}\), by \(\displaystyle{ y-r\ge 0 \vee y+r\le 0}\) (to w prosty sposób zapewni rozłączność) i dla tychże \(\displaystyle{ y,r}\) określ taki zbiór kul, jak podałaś, gdzie wartości \(\displaystyle{ a}\) przebiegają jakiś miły zbiór nieprzeliczalny…
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Re: II aksjomat przeliczalnośći
Co wówczas z ze współrzędną b środka w tym zapisie?
Dodano po 14 minutach 39 sekundach:
Rozważmy kule następującej postaci: \(\displaystyle{ B_{a}((a,b),r)=\left\{ (a,y)\in\mathbb{R^{2}}: \left| y-b\right| <r \right\} }\)
Dobierając \(\displaystyle{ r}\) w ten sposób, aby \(\displaystyle{ r<\left| b\right| (r-b<0 \vee r+b>0)}\) otrzymujemy kule parami rozłączne. Przechodząc z \(\displaystyle{ a}\) po wartościach rzeczywistych, otrzymujemy nieprzeliczalnie wiele (bo \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) rozłącznych kul. Wszystkie zbiory otwarte (kule) są sumami elementów z bazy (el. bazy są tego samego kształtu), więc baza ta jest nieprzeliczalna.
Czy tak?
Dodano po 14 minutach 39 sekundach:
Rozważmy kule następującej postaci: \(\displaystyle{ B_{a}((a,b),r)=\left\{ (a,y)\in\mathbb{R^{2}}: \left| y-b\right| <r \right\} }\)
Dobierając \(\displaystyle{ r}\) w ten sposób, aby \(\displaystyle{ r<\left| b\right| (r-b<0 \vee r+b>0)}\) otrzymujemy kule parami rozłączne. Przechodząc z \(\displaystyle{ a}\) po wartościach rzeczywistych, otrzymujemy nieprzeliczalnie wiele (bo \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) rozłącznych kul. Wszystkie zbiory otwarte (kule) są sumami elementów z bazy (el. bazy są tego samego kształtu), więc baza ta jest nieprzeliczalna.
Czy tak?
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: II aksjomat przeliczalnośći
Jak się podaje przykład, to fajnie, żeby był maksymalnie przejrzysty. Odcinki \(I_a=((a,1/2),(a,3/2))\) są rozłącznymi kulami w rzece. Ile ich jest?
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy