Twierdzenie Tichonowa

[TorrhenMathMeth]

Hej, mam taki problem: znalazłem dwie wersje twierdzenia Tichonowa o produkcie przestrzeni topologicznych. Jedna z nich mówi, że zachodzi implikacja w jedną stronę, tzn. jeśli przestrzenie \(\displaystyle{ X_{i} }\) są zwarte, to wtedy \(\displaystyle{ \prod_{i \in I}^{} X_{i} }\) też jest zwarta.
Za to druga wersja mówi, że \(\displaystyle{ \prod_{i \in I}^{} X_{i} }\) jest zwarta \(\displaystyle{ \Leftrightarrow }\) \(\displaystyle{ X_{i} }\) są zwarte.

Która wersja jest prawdziwa? Nie mogłem do tego dojść, bo w żadnym miejscu nie znalazłem zaprzeczenia tego, że druga wersja może być prawdziwa. Jeśli druga wersja nie zachodzi, to jakim kontrprzykładem można to pokazać?

[karolex123]

Topologia na produkcie kartezjańskim przestrzeni topologicznym jest wybrana tak, aby rzutowania były odwzorowaniami ciągłymi (jest to tak zwana słaba topologia). Co więcej, każda z przestrzeni \(\displaystyle{ X_i}\) zanurza się homeomorficznie w produkt \(\displaystyle{ \prod_{i \in I}^{} X_{i}}\); wynika stąd, że jeśli produkt \(\displaystyle{ \prod_{i \in I}^{} X_{i}}\) jest Hausdorffa, to każda z przestrzeni \(\displaystyle{ X_i}\) jest Hausdorffa.
Z powyższych uwag wynika już łatwo zwartość każdej z przestrzeni \(\displaystyle{ X_i}\)