Dowody dotyczące n-sympleksu
: 6 lis 2019, o 14:54
Na studiach spotkałam się z zadaniami, z którymi nie potrafię sobie poradzić . Bardzo proszę o pomoc.
1.Udowodnij, że n-sympleks \(\displaystyle{ \sigma}\) generowany przez punkty \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_n}\) jest zbiorem zwartym i wypukłym, który równy jest przecięciu wszystkich zbiorów wypukłych zawierających punkty \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_n}\).
2.Udowodnij, że dla danego n-sympleksu \(\displaystyle{ \sigma}\) generowanego przez \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_n}\) zbiór Int \(\displaystyle{ \sigma}\) jest
wypukły i otwarty w płaszczyźnie P generowanej przez wierzchołki \(\displaystyle{ \sigma}\), zaś jego domknięciem jest \(\displaystyle{ \sigma}\). Udowodnij też, że Int \(\displaystyle{ \sigma}\) jest sumą mnogościową wszystkich otwartych odcinków łączących \(\displaystyle{ a_0}\) z punktami zbioru Int s, gdzie
s jest ścianą \(\displaystyle{ \sigma}\) leżącą naprzeciw \(\displaystyle{ a_0}\).
I coś o zbiorze gwieździście wypukłym:
3. Zbiór \(\displaystyle{ U \subset \mathbb{R}^N}\) nazywamy gwiaździście wypukłym względem punktu 0, jeżeli dla każdego
punktu \(\displaystyle{ x \in U}\) odcinek łączący 0 z punktem x jest zawarty w U. Udowodnij, że jeżeli U jest zbiorem gwiaździście
wypukłym względem 0, to promień wychodzący z 0 może przeciąć Bd U w więcej niż jednym punkcie oraz że U
nie musi być homeomorficzne z \(\displaystyle{ B^N}\).
1.Udowodnij, że n-sympleks \(\displaystyle{ \sigma}\) generowany przez punkty \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_n}\) jest zbiorem zwartym i wypukłym, który równy jest przecięciu wszystkich zbiorów wypukłych zawierających punkty \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_n}\).
2.Udowodnij, że dla danego n-sympleksu \(\displaystyle{ \sigma}\) generowanego przez \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_n}\) zbiór Int \(\displaystyle{ \sigma}\) jest
wypukły i otwarty w płaszczyźnie P generowanej przez wierzchołki \(\displaystyle{ \sigma}\), zaś jego domknięciem jest \(\displaystyle{ \sigma}\). Udowodnij też, że Int \(\displaystyle{ \sigma}\) jest sumą mnogościową wszystkich otwartych odcinków łączących \(\displaystyle{ a_0}\) z punktami zbioru Int s, gdzie
s jest ścianą \(\displaystyle{ \sigma}\) leżącą naprzeciw \(\displaystyle{ a_0}\).
I coś o zbiorze gwieździście wypukłym:
3. Zbiór \(\displaystyle{ U \subset \mathbb{R}^N}\) nazywamy gwiaździście wypukłym względem punktu 0, jeżeli dla każdego
punktu \(\displaystyle{ x \in U}\) odcinek łączący 0 z punktem x jest zawarty w U. Udowodnij, że jeżeli U jest zbiorem gwiaździście
wypukłym względem 0, to promień wychodzący z 0 może przeciąć Bd U w więcej niż jednym punkcie oraz że U
nie musi być homeomorficzne z \(\displaystyle{ B^N}\).