Pokaż, że norma indukuje metrykę

[Izab321]

Niech\(\displaystyle{ || \cdot ||}\) będzie normą na przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\). Pokaż, że norma ta indukuje metrykę \(\displaystyle{ d}\) za pomocą formuły \(\displaystyle{ d(x,y):=||x-y||}\).
Nie mam pojęcia jak zabrać się za to zadanie

[szw1710]

Analizując warunki normy w kontekście metryki. Zaczniemy tak: \(d(x,y)=0\iff \|x-y\|=0.\) Popatrz teraz na pierwszy warunek definiujący normę. W sprawdzeniu nierówności trójkąta musisz coś dodać i coś odjąć. Taki mały techniczny trick.

[Izab321]

Pierwszy punkt zrobiony. Podpowiesz na co sie powołać aby udowodnić , że \(\displaystyle{ ||x-y||=||y-x||}\)

[szw1710]

Porównaj z własnością wartości bezwzględnej dla liczb rzeczywistych. To jest poniekąd identyczna sprawa. Powołaj się na warunek \(\|tv\|=|t|\cdot \|v\|\) dla dowolnego skalara \(t\) i dla dowolnego wektora \(v\).

[Izab321]

Udało się, został jeszcze ostatni punkt dostałam taką nierównośc \(\displaystyle{ ||x-y|| \le ||x-z||+||z-y|| }\). Nie mam pomysłu co tu dodać

[szw1710]

Wskazówka: norma spełnia nierówność trójkąta. No więc trzeba chyba (nie wiem do końca, bo bardzo dawno takich zadań nie rozwiązywałem i jestem dość słaby w tej kwestii ) coś pomajstrować z lewą stroną. A popatrz na prawą stronę, na to co masz otrzymać.

[Izab321]

Kombinowałam , ale nic sensownego nie otrzymałam.
Mam jeszcze pytanie do innego zadania : mam udowodnić , że \(\displaystyle{ ||x||=\max \left\{|x _{1}| ,|x _{2}| \right\} .}\) Mam problem z udowodnieniem 3 punktu \(\displaystyle{ ||x+y|| \le ||x||+||y||.}\)

[Dasio11]

Pomyśl, jakie podstawienie

\(\displaystyle{ u = \ldots \\
v = \ldots}\)

sprawi, że nierówność \(\displaystyle{ \| x-z \| \le \| x-y \| + \| y-z \|}\) przybierze postać \(\displaystyle{ \| u+v \| \le \| u \| + \| v \|}\).