Udowodnij, że jest to przestrzeń metryczna

[Izab321]

Niech \(\displaystyle{ f:[0, \infty ) \rightarrow [0, \infty )}\) będzie funkcj spełniającą następujące warunki:
I \(\displaystyle{ f(a)=0}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a=0}\)
II \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca
III \(\displaystyle{ f(a+b) \le f(a)+f(b)}\) dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ a,b \in [0, \infty ).}\).
Udowodnij,że jeśli \(\displaystyle{ (X,\rho)}\) jest przestrzenią metryczną to \(\displaystyle{ (X,d)}\) gdzie
\(\displaystyle{ d(x,y)=f(\rho(x,y))}\), dla \(\displaystyle{ x,y \in X}\) też jest przestrzenią metryczną.

[szw1710]

A co zrobiłaś w tej kwestii sama?

Zanalizuj poszczególne warunki definiujące metrykę. To w tym wypadku proste.

[Izab321]

Warunek 1 jet prosty do zauważenia . Natomiast mam problem z zapisaniem/uzasadnieiem 2 i 3

[Dasio11]

Symetria metryki jest trywialna. Nierówność trójkąta:

\(\displaystyle{ \begin{align*}
d(x, z) & = f(\rho(x, z)) & & \text{z definicji } d \\
& \le f \big( \rho(x, y) + \rho(y, z) \big) & & \text{z warunku II i faktu, że } \rho \text{ jest metryką} \\
& \le f(\rho(x, y)) + f(\rho(y, z)) & & \text{z warunku III} \\
& = d(x, y) + d(y, z) & & \text{z definicji}
\end{align*}}\)

[Izab321]

Super, wszystko jasne dziękuję

[szw1710]

Ważne, żebyś teraz zrozumiała to rozwiązanie, bo dostałaś gotowca. Ja nie popieram takiego postępowania, stąd moja odpowiedź w Twoim temacie. Ale dostałaś, na co nie mam wpływu, więc teraz postaraj się to zrozumieć.

Funkcję spełniającą warunek III nazywamy podaddytywną. Taką funkcją jest np. \(f(x)=\sqrt{x}.\) Zresztą spełnia ona wszystkie warunki Twojego zadania.

[Izab321]

Bez obaw pytam po to aby zrozumiec, a nie po to żeby mieć rozwiązane zadanie

[szw1710]

Oczywiście na studiach matematycznych musisz jednak te rozwiązania tworzyć, a nie tylko odtwarzać.