Sprawdzanie czy odwzorowanie jest metryką

[Izab321]

Niech \(\displaystyle{ d}\) będzie metryką. Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{d}{d+1} }\)również definiuje metrykę.

[Jan Kraszewski]

Z czym masz problem?

JK

[Izab321]

Wiem jakie są warunki na metrykę, problem w tym , że nie wiem jak to połaczyć z tym\(\displaystyle{ \frac{d}{d+1} }\) jak to zapisac i jak skorzystac z tego , że d jest metryką

[Dasio11]

Ogólnie: funkcja \(\displaystyle{ \delta : X \to [0, \infty)}\) jest metryką, jeśli

(i) dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in X}\) jest \(\displaystyle{ \delta(x, y) = 0 \iff x = y}\),
(ii) dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in X}\) jest \(\displaystyle{ \delta(x, y) = \delta(y, x)}\),
(iii) dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y, z}\) jest \(\displaystyle{ \delta(x, z) \le \delta(x, y) + \delta(y, z)}\).

Dostajesz teraz pewną metrykę \(\displaystyle{ d : X \to [0, \infty)}\) i masz sprawdzić, że funkcja \(\displaystyle{ \delta(x, y) = \frac{d(x, y)}{d(x, y)+1}}\) jest metryką, czyli spełnia warunki (i) - (iii). No to sprawdź.

[Izab321]

Dobrze myślę , że warunek 1 i 2 wychodzi od razu z tego ze \(\displaystyle{ d}\) jest metryka ?
Ale nie mam pojęcia jak udowodnić 3 punkt.

[Dasio11]

Dobrze myślisz.

Odnośnie punktu (iii): sprawdź, że funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{x+1}}\) spełnia \(\displaystyle{ f(a+b) \le f(a) + f(b)}\) dla \(\displaystyle{ a, b \ge 0}\), a potem powołaj się na ten fakt.

[Izab321]

Aby sprawdzić, że f(x) spełnia warunek wystarczy rozpisać i powołać się na fakt ,że licznik rośnie szybciej niz mianownik , więc nierówność jest spełniona?

[Dasio11]

Nie wydaje mi się.

I trzeba jeszcze sprawdzić, że \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca.

[Izab321]

To, że jest niemalejąca to wiem jak sprawdzić , ale nie mam pomysłu jak sprawdzić czy spełnia nierówność \(\displaystyle{ f(a+b) \le f(a)+f(b)}\)

[Dasio11]

A jak wygląda ta nierówność dla podanej funkcji \(\displaystyle{ f}\)?

[Izab321]

\(\displaystyle{ \frac{x+y}{1+x+y} \le \frac{x+y+2xy}{1+y+x+xy} }\)

[Dasio11]

Niepotrzebnie sprowadzasz do wspólnego mianownika, za to warto rozpisać lewą stronę jako sumę dwóch ułamków.

[Lider_M]

Taka drobiutki offtopic fajnie wiedzieć, że na to, by funkcja \(\displaystyle{ d:X\times X\to\mathbb{R}}\) była metryką potrzeba i wystarcza, by spełnione były następujące dwa warunki:
1. dla dowolnych \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) zachodzi \(\displaystyle{ d(x,y)=0}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x=y}\).
2. dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) zachodzi \(\displaystyle{ d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z)}\).