funkcja wklęsła a metryka

[ak1111]

Tw. Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\) będzie przestrzenią metryczną, zaś \(\displaystyle{ g: [0, \infty ) \rightarrow [0, \infty )}\) funkcją spełniającą warunki:
1) \(\displaystyle{ g}\) - niemalejąca,
2) \(\displaystyle{ g(x)=0 \Leftrightarrow x=0,}\)
3) \(\displaystyle{ g(x+y) \le g(x) + g(y)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in [0, \infty )}\).
Wtedy funkcja \(\displaystyle{ d_{g} (a,b) := g(d(a,b))}\) dla \(\displaystyle{ a,b \in X}\) jest metryką w \(\displaystyle{ X}\).

Udowodnij, ze jeśli funkcja \(\displaystyle{ g: [0, \infty ) \rightarrow [0, \infty )}\) jest wklęsła oraz spełnia warunek 2 z twierdzenia, to spełnia warunek 3 z twierdzenia dla dowolnych\(\displaystyle{ x,y \in [0, \infty ).}\)

[Dasio11]

Podpowiedź: skorzystaj z definicji wklęsłości funkcji \(\displaystyle{ g}\) dla przedstawienia \(\displaystyle{ x}\) w postaci kombinacji wypukłej \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ x+y}\):

\(\displaystyle{ x = \frac{y}{x+y} \cdot 0 + \frac{x}{x+y} \cdot (x+y)}\)

[a4karo]

Nierówność wynika prosto z następującego faktu (i mojej ulubionej własnosci funkcji wypukłych):

Funkcja \(\displaystyle{ f:I\to\RR}\) jest wypukłą wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego \(\displaystyle{ y\in I}\) funkcja \(\displaystyle{ g:I\setminus\{y\}\to\RR}\) zadana wzorem \(\displaystyle{ g(x)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}}\) jest rosnąca (malejąca).

Z tego mamy, że $$h(x,y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$ rośnie (maleje) względem obu zmiennych. A stąd
$$h(x+y,x)\leq h(y,0)$$
co jest szukaną nierównością.