Warunek równoważny ciągłości

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Iloczyn tensorowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 11 lip 2019, o 19:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ---
Podziękował: 4 razy

Warunek równoważny ciągłości

Post autor: Iloczyn tensorowy » 15 sie 2019, o 20:43

Twierdzenie do udowodnienia:

\(\displaystyle{ (\forall A \subset X: f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}) \Rightarrow f:X \rightarrow Y}\) jest funkcją ciągłą

Próba dowodu:
Ustalmy dowolny \(\displaystyle{ x_{0} \in X}\) i dowolny ciąg \(\displaystyle{ (x_{n}) \subset X : x_{n} \longrightarrow x_{0}}\)
Niech \(\displaystyle{ A=(x_{n})}\)
Z ciągowej charakteryzacji domknięcia: \(\displaystyle{ x_{0} \in \overline{A}}\), zatem \(\displaystyle{ f(x_{0}) \in f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}}\), czyli \(\displaystyle{ f(x_{0}) \in \overline{f(A)}}\).
Ponownie z ciągowej charakteryzacji domknięcia: \(\displaystyle{ \exists(y_{n}) \subset f(A): y_{n} \longrightarrow f(x_{0})}\)
Z drugiej strony \(\displaystyle{ f(A)=f((x_{n}))=(f(x_{n}))}\)
Należy pokazać, że \(\displaystyle{ f(x_{n}) \longrightarrow f(x_{0})}\)

W jaki sposób można dokończyć/zmodyfikować to rozumowanie?

Myślałem nad czymś takim:
Załóżmy dla dowodu nie wprost, że \(\displaystyle{ f(x_{n}) \longrightarrow g \neq f(x_{0})}\)
wtedy \(\displaystyle{ y_{n} \longrightarrow g}\), ale \(\displaystyle{ y_{n} \longrightarrow f(x_{0})}\)
sprzeczność

Ale z drugiej strony nie wiadomo czy \(\displaystyle{ (y_{n})}\) jest podciągiem ciągu \(\displaystyle{ (x_{n})}\) oraz czy ciąg \(\displaystyle{ (f(x_{n}))}\) w ogóle jest do czegokolwiek zbieżny.
Ostatnio zmieniony 15 sie 2019, o 20:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: w ogóle.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25102
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4183 razy

Warunek równoważny ciągłości

Post autor: Jan Kraszewski » 15 sie 2019, o 20:46

A cóż to jest \(\displaystyle{ X}\) ? A \(\displaystyle{ Y}\) ?

JK

Iloczyn tensorowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 11 lip 2019, o 19:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ---
Podziękował: 4 razy

Warunek równoważny ciągłości

Post autor: Iloczyn tensorowy » 15 sie 2019, o 20:55

Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą przestrzeniami metrycznymi

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8524
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1781 razy

Re: Warunek równoważny ciągłości

Post autor: Dasio11 » 15 sie 2019, o 21:41

Najprościej tak: załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ f(x_n) \not \to f(x_0)}\). Wtedy istnieje \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\), takie że dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\) jest \(\displaystyle{ d(f(x_n), f(x_0)) \ge \varepsilon}\). Rozważ zbiór \(\displaystyle{ A = \{ x_n : d(f(x_n), f(x_0)) \ge \varepsilon \}}\) i spróbuj dojść do sprzeczności.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1754
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 240 razy

Warunek równoważny ciągłości

Post autor: matmatmm » 15 sie 2019, o 22:23

Ja zaproponuję inny (chyba bardziej skomplikowany) sposób:

Następująca własność daje warunek wystarczający na ciągłość (warunek ten jest osłabieniem warunku Heinego):

Jeśli dla każdego ciągu \(\displaystyle{ (x_n)_{n\in\NN}}\) zbieżnego do \(\displaystyle{ x_0}\) istnieje podciąg taki, że ciąg \(\displaystyle{ \left( f(x_{n_k})\right)_{k\in\NN}}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ f(x_0)}\), to \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0}\).

Teraz trzeba nieco zmodyfikować dowód Iloczyna tensorowego:

Ustalmy dowolny \(\displaystyle{ x_{0} \in X}\) i dowolny ciąg \(\displaystyle{ (x_{n}) \subset X : x_{n} \longrightarrow x_{0}}\)
Niech \(\displaystyle{ A_k=\{x_n:n\geq k\}}\) dla \(\displaystyle{ k\in\NN}\).
Z ciągowej charakteryzacji domknięcia: \(\displaystyle{ x_{0} \in \overline{A_k}}\), zatem \(\displaystyle{ f(x_{0}) \in f(\overline{A_k}) \subset \overline{f(A_k)}}\), czyli \(\displaystyle{ f(x_{0}) \in \overline{f(A_k)}=\overline{\{f(x_n):n\geq k\}}}\).

Aby dokończyć, wystarczy skonstruować szukany podciąg zbieżny.

Iloczyn tensorowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 11 lip 2019, o 19:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ---
Podziękował: 4 razy

Warunek równoważny ciągłości

Post autor: Iloczyn tensorowy » 16 sie 2019, o 16:13

Próbuję udowodnić korzystając z sugestii Dasio11

Ustalmy dowolny \(\displaystyle{ x_{0} \in X}\) i dowolny ciąg \(\displaystyle{ (x_{n}) \subset X : x_{n} \longrightarrow x_{0}}\)
Należy pokazać, że \(\displaystyle{ f(x_{n}) \longrightarrow f(x_{0})}\)
Załóżmy dla dowodu nie wprost, że \(\displaystyle{ f(x_n) \not \longrightarrow f(x_0)}\).
Wtedy \(\displaystyle{ \exists \varepsilon_{0} > 0 \ \forall n \in \NN : \ d(f(x_{n}),f(x_{0})) \ge \varepsilon_{0} \ (*)}\)
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{x_{n}:d(f(x_{n}),f(x_{0})) \ge \varepsilon_{0} \right\}}\). Wówczas \(\displaystyle{ f(A)=\left\{f(x_{n}):d(f(x_{n}),f(x_{0})) \ge \varepsilon_{0} \right\}}\)
Z ciągowej charakteryzacji domknięcia: \(\displaystyle{ x_{0} \in \overline{A}}\) (elementy zbioru \(\displaystyle{ A}\) można ustawić w ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})}\))
Zatem \(\displaystyle{ f(x_{0}) \in f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}}\), czyli \(\displaystyle{ f(x_{0}) \in \overline{f(A)}}\)
Ponownie z ciągowej charakteryzacji domknięcia: \(\displaystyle{ \exists(y_{k}) \subset f(A): y_{k} \longrightarrow f(x_{0})}\)
To z definicji granicy oznacza, że \(\displaystyle{ \forall \varepsilon>0 \ \exists l \in \NN \ \forall k \ge l : \ d(y_{k}-f(x_{0}))< \varepsilon}\)
Jednak z definicji zbioru \(\displaystyle{ f(A)}\) wynika, że \(\displaystyle{ \forall k \in \NN \ \exists n \in \NN :\ y_{k}=f(x_{n})}\)
Czyli mamy: \(\displaystyle{ \forall \varepsilon>0 \ \exists l \in \NN \ \forall k \ge l \ \exists n \in \NN : \ d(f(x_{n})-f(x_{0}))< \varepsilon}\)
Otrzymaliśmy sprzeczność z \(\displaystyle{ (*)}\)

Czy tak jest dobrze?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8524
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1781 razy

Warunek równoważny ciągłości

Post autor: Dasio11 » 16 sie 2019, o 18:29

Iloczyn tensorowy pisze:Załóżmy dla dowodu nie wprost, że \(\displaystyle{ f(x_n) \not \longrightarrow f(x_0)}\).
Wtedy \(\displaystyle{ \exists \varepsilon_{0} > 0 \ \forall n \in \NN : \ d(f(x_{n}),f(x_{0})) \ge \varepsilon_{0} \ (*)}\)
To przejście jest niepoprawne. Powinno być: istnieje \(\displaystyle{ \varepsilon_0 > 0}\), takie że \(\displaystyle{ d(f(x_n), f(x_0)) \ge \varepsilon_0}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\).
Iloczyn tensorowy pisze:Z ciągowej charakteryzacji domknięcia: \(\displaystyle{ x_{0} \in \overline{A}}\) (elementy zbioru \(\displaystyle{ A}\) można ustawić w ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})}\))
Raczej: elementy \(\displaystyle{ A}\) można ustawić w podciąg ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) i ten podciąg będzie zbieżny do \(\displaystyle{ x_0}\).
Iloczyn tensorowy pisze:To z definicji granicy oznacza, że \(\displaystyle{ \forall \varepsilon>0 \ \exists l \in \NN \ \forall k \ge l : \ d(y_{k}-f(x_{0}))< \varepsilon}\)
Pewnie literówka, ale po prawej stronie zamiast minusa powinien być przecinek.
Iloczyn tensorowy pisze:Czyli mamy: \(\displaystyle{ \forall \varepsilon>0 \ \exists l \in \NN \ \forall k \ge l \ \exists n \in \NN : \ d(f(x_{n})-f(x_{0}))< \varepsilon}\)
Otrzymaliśmy sprzeczność z \(\displaystyle{ (*)}\)
Końcówka jest niejasna - skąd dokładnie wynika sprzeczność?

Iloczyn tensorowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 11 lip 2019, o 19:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ---
Podziękował: 4 razy

Warunek równoważny ciągłości

Post autor: Iloczyn tensorowy » 16 sie 2019, o 21:26

Wprowadzam poprawki:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x_{0} \in X}\) i dowolny ciąg \(\displaystyle{ (x_{n}) \subset X : x_{n} \longrightarrow x_{0}}\)
Należy pokazać, że \(\displaystyle{ f(x_{n}) \longrightarrow f(x_{0})}\)
Załóżmy dla dowodu nie wprost, że \(\displaystyle{ f(x_n) \not \longrightarrow f(x_0)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \exists \varepsilon_{0} > 0 :\ d(f(x_{n}),f(x_{0})) \ge \varepsilon_{0}}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n \in \NN}\) \(\displaystyle{ (*)}\)
Definiujemy \(\displaystyle{ \FF:=\left\{n \in \NN :\ d(f(x_{n}),f(x_{0}) \ge \varepsilon_{0}\right\}}\)
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{x_{n}:d(f(x_{n}),f(x_{0})) \ge \varepsilon_{0} \right\}}\). Wówczas \(\displaystyle{ f(A)=\left\{f(x_{n}):d(f(x_{n}),f(x_{0})) \ge \varepsilon_{0} \right\}}\)
Skoro \(\displaystyle{ x_{n} \longrightarrow x_{0}}\), to \(\displaystyle{ (x_{n})_{n \in \FF}}\) też jest zbieżny do \(\displaystyle{ x_{0}}\), a \(\displaystyle{ (x_{n})_{n \in \FF} \subset A}\), zatem z ciągowej charakteryzacji domknięcia: \(\displaystyle{ x_{0} \in \overline{A}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ f(x_{0}) \in f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}}\), czyli \(\displaystyle{ f(x_{0}) \in \overline{f(A)}}\)
Ponownie z ciągowej charakteryzacji domknięcia: \(\displaystyle{ \exists(y_{k}) \subset f(A): y_{k} \longrightarrow f(x_{0})}\)
Z definicji granicy: \(\displaystyle{ \forall \varepsilon>0 \ \exists l \in \NN \ \forall k \ge l : \ d(y_{k},f(x_{0}))< \varepsilon \ (1)}\)
Z definicji zbioru \(\displaystyle{ f(A)}\): \(\displaystyle{ \forall k \in \NN \ \exists n \in \FF :\ y_{k}=f(x_{n}) \ (2)}\)
Z (1) i (2) otrzymujemy: \(\displaystyle{ \forall \varepsilon>0 \ \exists l \in \NN \ \forall k \ge l \ \exists n \in \FF: \ d(f(x_{n}),f(x_{0}))< \varepsilon \ (3)}\)
\(\displaystyle{ (*) \implies \exists \varepsilon_{0}>0 \ \forall n \in \FF :\ d(f(x_{n}),f(x_{0})) \ge \varepsilon_{0} \ (4)}\)
\(\displaystyle{ (3) \implies \forall \varepsilon>0 \ \exists n \in \FF :\ d(f(x_{n}),f(x_{0})) < \varepsilon \ (5)}\) (czy taka implikacja jest prawdziwa?)
Z (4) i (5) byłaby sprzeczność

Jeśli nie tędy droga, to którędy?

ODPOWIEDZ