Lemat Mosera

[Peter Zof]

Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie rozmaitością \(\displaystyle{ \omega_t \in \Omega^2(M)}\) gładko zależną rodziną 2-form różniczkowych. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \frac{d}{dt}|_{t=s} \omega_t=d \alpha_s}\) dla \(\displaystyle{ \alpha_s \in \Omega^1(M)}\). Niech \(\displaystyle{ X_t}\) będą polami wektorowymi na \(\displaystyle{ M}\) takimi, że \(\displaystyle{ \iota_{X_t} \omega_t=-\alpha_t}\) i załóżmy ponadto, że \(\displaystyle{ X_t}\) się całkują do \(\displaystyle{ \phi_t \in \mathrm{Diff}(M)}\) oraz \(\displaystyle{ \phi_0=Id}\). Wtedy \(\displaystyle{ \phi_t^* \omega_t=\omega_0}\).

Rozumiem, że stwierdzenie że \(\displaystyle{ X_t}\) się całkuje do \(\displaystyle{ \phi_t}\) oznacza wybór \(\displaystyle{ \phi_t:=\phi_t^{X_t}}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi_s^{X_t}}\) jest 1-parametrową grupą dyfeomorfizmów zadanych przez \(\displaystyle{ X_t}\) ?

Dowód Lematu Mosera polega na pokazaniu, że krzywa form różniczkowych jest stała, tzn \(\displaystyle{ \frac{d}{dt}(\phi_t^*\omega_t)=const}\). Dodatkowo \(\displaystyle{ \phi_0^*\omega_0=\omega_0}\) więc zachodzi teza. Rachunek wygląda tak, że \(\displaystyle{ \frac{d}{dt}(\phi_t^*\omega_t)\red{=}\black\phi_t^* \mathcal{L}_{X_t}\omega_t+\phi_t^*\frac{d}{dt}\omega_t=\phi_t^*\left( \mathcal{L}_{X_t}\omega_t+\frac{d}{dt}\omega_t\right) =\phi_t^*\left( (d\iota_{X_t}+\iota_{X_t}d)\omega_t+d\alpha_t\right)}\)

Składnik \(\displaystyle{ \iota_{X_t}d\omega_t}\) jest zerowy ponieważ \(\displaystyle{ d\omega_t=0}\). Kolejny składnik \(\displaystyle{ d\iota_{X_t}\omega_t}\) wynosi \(\displaystyle{ -d\alpha_t}\). Zatem \(\displaystyle{ (d\iota_{X_t}+\iota_{X_t}d)\omega_t+d\alpha_t=0}\).

Moje pytanie dotyczy równości zaznaczonej kolorem czerwonym.

[janusz47]

Pochodna Liego.

[Peter Zof]

Właśnie chodzi o to, że trzeba coś więcej, gdyż te formy również zależą od parametru \(\displaystyle{ t}\). Wydaje mi się, że idzie to można zrobić tak:

Dla gładkiej funkcji dwóch zmiennych \(\displaystyle{ g(x,y)}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{d}{dt}g(t,t)=\frac{d}{dx}|_{x=t}g(x,t)+\frac{d}{dy}|_{y=t}g(t,y)}\). Co w tej sytuacji oznacza \(\displaystyle{ \frac{d}{dt} \phi_t^*\omega_t=\frac{d}{dx}|_{x=t} \phi_x^* \omega_t+\frac{d}{dy}|_{y=t} \phi_t^* \omega_y}\). Pierwszy składnik wynosi \(\displaystyle{ \phi_t^*\left(\mathcal{L}_{X_t} \omega_t}\right)}\) (co też jest jakimś ćwiczeniem, gdyż standardowo pochodna Liego to różniczkowanie w \(\displaystyle{ t=0}\)) a drugi \(\displaystyle{ \phi_t^*\left(\frac{d}{dt} \omega_t\right)}\).

[janusz47]