Zwarte przestrzenie metryczne

[CamaroChevy]

Witam serdecznie,

Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc przy tym zadaniu, które brzmi następująco : Udowodnić, że w zwartej przestrzeni metrycznej dla dwóch różnych składowych \(\displaystyle{ A, B}\) mamy \(\displaystyle{ \inf\limits_{a\in A, b \in B} d(a,b) > 0}\) . Czy jest tak w dowolnej przestrzeni metrycznej ?

Z góry dziękuję za pomoc

[karolex123]

Wskazówka: składowa jest domkniętym podzbiorem w przestrzeni.

[janusz47]

Dowód 1

Niech

\(\displaystyle{ d(A,B) = \inf\limits_{a\in A, b \in B} [ d(a,b)].}\)

Istnieją wtedy ciągi \(\displaystyle{ (a_{n}) \subset A, \ \ (b_{n}) \subset B}\) takie, że \(\displaystyle{ \forall_{n\in \mathbb{N}}\ \ 0 \leq d(a_{n}, b_{n})< \frac{1}{n}.}\)

Z założenia zwartości zbiorów \(\displaystyle{ A, B}\) wynika, że istnieją podciągi, odpowiednio

\(\displaystyle{ a_{r_{n_{m}}} \subset A, \ \ b_{r_{n_{m}}} \subset B}\)

takie, że \(\displaystyle{ \forall_{m\in \mathbb{N}} \ \ 0\leq d(a_{r_{n_{m}}}, b_{r_{n_{m}}}) < \frac{1}{r_{n_{m}}}.}\)

Z tego, że \(\displaystyle{ r_{n}_{m}}\geq n_{m} \geq m > 0,}\)

prawdziwe są więc implikacje

\(\displaystyle{ 0 < \frac{1}{r_{n_{m}}} < \frac{1}{m} \rightarrow \frac{1}{r_{n}_{m}}} \rightarrow 0}\)

Z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że istnieją ciągi zbieżne

\(\displaystyle{ (a_{n}) \subset A, \ \ (b_{n}) \subset B}\) takie, że \(\displaystyle{ a_{n} \rightarrow a \subset A, \ \ b_{n} \rightarrow b \subset B,}\)

Stąd

\(\displaystyle{ d(a_{n}, b_{n}) \rightarrow d( a, b ).}\)

W konsekwencji

\(\displaystyle{ d(a, b) = 0 \rightarrow a = b}\) co przeczy, że \(\displaystyle{ A \cap B = \emptyset.}\)

c.n.d.


Dowód 2

Załóżmy, że \(\displaystyle{ d(A, B) = 0}\)

Rozpatrujemy funkcję \(\displaystyle{ d(x, B) = \inf\{ d(x,y), \ \ y\in B\}}\) Jest to funkcja ciągła i rozpatrywana na zwartej przestrzeni \(\displaystyle{ A}\) osiąga minimum .

To znaczy, że istnieje takie

\(\displaystyle{ a\in A}\), że \(\displaystyle{ d(A, B) = \inf\{ d(x, B): x\in A\} = d(A, B) = 0.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ d(A, B) = 0}\) więc \(\displaystyle{ a\in cl_{X}(B).}\) \(\displaystyle{ B}\) jest zwarty, więc jest domknięty, czyli \(\displaystyle{ a\in cl_{X}(B) = B,}\)

co przeczy, że \(\displaystyle{ A \cap B =\emptyset.}\)

c.n.d.