Strona 1 z 1

Twierdzenie Borsuka-ULama

: 5 lip 2019, o 16:06
autor: Legisl
Ukryta treść:    
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) będzie pewną rozmaitością topologiczną, która nie jest homeomorficzna z \(\displaystyle{ S^{n}}\) , mam na myśli taką, że: \(\displaystyle{ genus(\mathbb{X}) \ge 1}\) , czyli rozmaitość ma co najmniej jedną "dziurę". Pondato gdy \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem ciągłym \(\displaystyle{ f:\mathbb{X} \rightarrow \RR^{m}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \exists x\in \mathbb{X}:f(x)=f(-x)}\) dla dowolnego odwzorowania ciągłego. Czy tak zdefiniowana rozmaitość może istnieć?

Re: Twierdzenie Borsuka-ULama

: 5 lip 2019, o 18:03
autor: a4karo
A co to jest \(\displaystyle{ -x}\) ?

Re: Twierdzenie Borsuka-ULama

: 5 lip 2019, o 18:06
autor: Legisl
Pewien punkt należący do \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\), który jest punktem przeciwnym do punktu \(\displaystyle{ x}\).

Re: Twierdzenie Borsuka-ULama

: 5 lip 2019, o 19:47
autor: Gosda
Wikipedia mówi, że twierdzenie jest prawdziwe, jeśli zamiast sfery weżmiesz brzeg dowolnego otwartego, ograniczonego i symetrycznego podzbioru \(\displaystyle{ \mathbb R^n}\). To jest dokładniej opisane w ... nt_theorem i chyba odpowiada na Twoje pytanie?

\(\displaystyle{ -x}\) ma sens tylko wtedy, gdy Twoja rozmaitość jest zanurzona w jakiejś przestrzeni euklidesowej. Czasami wygodniej jest tego nie robić (tzn. nie zanurzać).

Re: Twierdzenie Borsuka-ULama

: 5 lip 2019, o 21:48
autor: Legisl
Faktycznie, ma to tylko sens, gdy rozmaitość jest zanurzona w przestrzeni euklidesowej, ponieważ rozmaitość topologiczna nie musi mieć struktury lokalnej z \(\displaystyle{ \RR^{n}}\) tylko z dowolną przestrzenią wektorową, wtedy \(\displaystyle{ -x}\) nie jest zdefiniowany dla \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) , która nie posiada lokalnej struktury euklidesowej. Dziękuję za odpowiedź i link do strony, rzeczywiście odpowiada na moje pytanie, lecz niestety nie ma tam żadnego dowodu danego twierdzenia, chyba że nie zauważam czegoś oczywistego

Re: Twierdzenie Borsuka-ULama

: 5 lip 2019, o 23:41
autor: Gosda
Zajrzyj do Steinlein, H. (1985). "Borsuk's antipodal theorem and its generalizations and applications: a survey. Méthodes topologiques en analyse non linéaire". Sém. Math. Supér. Montréal, Sém. Sci. OTAN (NATO Adv. Study Inst.). 95: 166–235, powinno być, a jak nie ma, to poszukamy dalej ;)

Re: Twierdzenie Borsuka-ULama

: 5 lip 2019, o 23:55
autor: Legisl
Bardzo dziękuję

Re: Twierdzenie Borsuka-ULama

: 6 lip 2019, o 10:24
autor: Dasio11
Legisl pisze:rozmaitość topologiczna nie musi mieć struktury lokalnej z \(\displaystyle{ \RR^{n}}\) tylko z dowolną przestrzenią wektorową, wtedy \(\displaystyle{ -x}\) nie jest zdefiniowany dla \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) , która nie posiada lokalnej struktury euklidesowej.
Rozmaitość topologiczna lokalnie ma strukturę \(\displaystyle{ \RR^n}\), ale to nie wystarczy, żeby w sensowny sposób zdefiniować operację \(\displaystyle{ x \mapsto -x}\).