Przestrzenie metryczne

[CamaroChevy]

Witam serdecznie,

Zadanie brzmi tak : Podać przykład przestrzeni metrycznej, nie izometrycznej z żadną podprzestrzenią żadnej przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ (\RR^{n} , d_{E}) , n = 1,2,...}\) Jaka jest najmniejsza moc takiej przestrzeni ? Udowodnić, że jedną z nich jest przestrzeń \(\displaystyle{ (S^{1} , d_{S})}\) (okrąg z metryką łukową). Również przeliczana przestrzeń z metryką zero-jedynkową nie zanurza się izometrycznie w żadnej przestrzeni euklidesowej.

Z góry będę bardzo wdzięczny za pomoc

[Gosda]

Wskazówka: można łatwo znaleźć taką przestrzeń zauważając, że zarówno \(\displaystyle{ \mathbb R^n}\) jak i jej podprzestrzenie są mocy co najwyżej continuum. Wystarczy więc wziąć coś większego, na przykład \(\displaystyle{ \mathbb R^{\mathfrak m}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathfrak m = 2^{\mathfrak c}}\).

[Dasio11]

Najmniejsza moc takiej podprzestrzeni, która nie zanurza się izometrycznie w \(\displaystyle{ \RR^n}\) dla żadnego \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ 4}\). Przykład: \(\displaystyle{ X = \{ a_1, b_1, a_2, b_2 \}}\) z odległościami \(\displaystyle{ d(a_1, a_2) = d(b_1, b_2) = 2}\) oraz \(\displaystyle{ d(a_i, b_j) = 1}\) dla \(\displaystyle{ i, j \in \{ 1, 2 \}}\).

Ponadto \(\displaystyle{ X}\) po odpowiednim przeskalowaniu zanurza się w \(\displaystyle{ (S^1, d_S)}\), co dowodzi od razu, że okrąg z metryką łukową nie zanurza się w żadnym \(\displaystyle{ \RR^n}\).