Podprzestrzenie domknięte i własność punktu stałego

[CamaroChevy]

Dzień dobry,

Zadanie brzmi następująco : Podprzestrzenie domknięte \(\displaystyle{ A, B}\) przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) mają własność punktu stałego. Ich suma jest całą przestrzenią \(\displaystyle{ X}\), a przecięcie - jednym punktem. Udowodnić, że \(\displaystyle{ X}\) ma własność punktu stałego. Czy założenie o przecięciu jest istotne ?

Z góry bardzo dziękuję za pomoc

[szw1710]

Jeśli \(\displaystyle{ A\cap B=\emptyset}\), to \(\displaystyle{ A\cup B}\) może nie mieć własności punktu stałego. Rozważ np. \(\displaystyle{ A=[0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ B=[2,3]}\). W lioczynie kartezjańskim masz więc cztery kwadraty. Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie zdefinowana tak, że wykres to przekątne lewego górnego i prawego dolnego kwadratu. Co powiesz o takiej funkcji?

[CamaroChevy]

Dobrze myślę jeżeli chodzi o tą funkcję \(\displaystyle{ f}\) o której mówiłeś ?

[szw1710]

Myślałem o przekątnych LD-PG, ale te też są dobre. Jakie własności ma ta funkcja \(\displaystyle{ f:[0,1]\cup[2,3]\to[0,1]\cup[2,3]}\)?

[CamaroChevy]

Jest odwzorowaniem ciągłym, prawda ? Czyli, gdybyśmy przyjęli że \(\displaystyle{ X = [0,1]\cup[2,3]}\) i chcieli byśmy aby \(\displaystyle{ X}\) spełniało własność punktu stałego, to musiałby istnieć punkt stały \(\displaystyle{ x \in X}\) taki że \(\displaystyle{ f(x) = x}\). W naszym przypadku nie było by to spełnione bo ta funkcja \(\displaystyle{ f:X \to X}\) nie posiadałby punktów wspólnych z \(\displaystyle{ f(x) = x}\). Zatem faktycznie suma \(\displaystyle{ A \cup B}\) (gdzie np. \(\displaystyle{ A = [0,1]}\) i \(\displaystyle{ B = [2,3]}\)) nie miałaby własności punktu stałego, czyli - idąc tym tokiem myślenia - założenie o przecięciu o którym jest mowa w zadaniu jest istotne. Dobrze rozumiem ?

[Dasio11]

Rozwiązanie pierwszej części: niech \(\displaystyle{ p}\) będzie punktem wspólnym \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Rozważmy dowolne odwzorowanie ciągłe \(\displaystyle{ f : X \to X}\). Ze względu na symetrię możemy założyć, że \(\displaystyle{ f(p) \in A}\). Określamy funkcję \(\displaystyle{ \pi : X \to A}\) wzorem

\(\displaystyle{ \pi(x) = \begin{cases} x & \text{dla } x \in A \\ p & \text{dla } x \in B \end{cases}}\)

Zauważmy, że powyższa funkcja jest dobrze określona, bo jeśli jednocześnie \(\displaystyle{ x \in A}\) i \(\displaystyle{ x \in B}\), to \(\displaystyle{ x = p}\) i oba przypadki definiują jednakową wartość \(\displaystyle{ f(p) = p}\). Ponadto widzimy, że \(\displaystyle{ \pi \upharpoonright A}\) (obcięcie \(\displaystyle{ \pi}\) do podzbioru \(\displaystyle{ A}\)) oraz \(\displaystyle{ \pi \upharpoonright B}\) są ciągłe. Stąd i z domkniętości \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wynika pełna ciągłość \(\displaystyle{ \pi : X \to X}\).

Rozważmy złożenie \(\displaystyle{ \pi \circ (f \upharpoonright A) : A \to A}\). Jest to funkcja ciągła, a więc z założenia wynika, że ma punkt stały, stąd: \(\displaystyle{ \pi(f(a)) = a}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a \in A}\). Jeśli \(\displaystyle{ f(a) \in A}\), to korzystając z definicji \(\displaystyle{ \pi}\), dostajemy \(\displaystyle{ f(a) = a}\). Jeśli zaś \(\displaystyle{ f(a) \in B}\), znów korzystając z definicji mamy \(\displaystyle{ a = p}\), a stąd \(\displaystyle{ f(p) \in B}\). Na początku stwierdziliśmy jednak, że \(\displaystyle{ f(p) \in A}\), a zatem \(\displaystyle{ f(p) \in A \cap B = \{ p \}}\), innymi słowy: \(\displaystyle{ f(p) = p}\). Wykazaliśmy więc w obu przypadkach, że \(\displaystyle{ f}\) ma punkt stały.