Aksjomaty oddzielania i wynikanie - czegoś nie rozumiem

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Awatar użytkownika
Zaratustra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 143
Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 6 razy

Aksjomaty oddzielania i wynikanie - czegoś nie rozumiem

Post autor: Zaratustra » 17 cze 2019, o 20:14

Głupie pytanie będzie...
W definicjach aksjomatów \(\displaystyle{ T_4,T_3,T_2,T_1,T_0}\) z wykładów, które miałem w tym semestrze:
- def.: \(\displaystyle{ X}\) nazywamy przestrzenią \(\displaystyle{ T_3}\), gdy:
SPEŁNIA AKSJOMAT \(\displaystyle{ T_1}\) oraz [tu reszta definicji]...
I nawet punkty mi na kolokwium urwało, za niesprawdzenie oddzielnie, że zadana przestrzeń jest \(\displaystyle{ T_1}\).
Ale oddzielnie pokazywaliśmy, że spełnianie \(\displaystyle{ T_3}\) spełnia \(\displaystyle{ T_2}\) oraz, że spełnianie \(\displaystyle{ T_2}\) to pociąga spełnianie \(\displaystyle{ T_1}\)... Dlaczego stąd już nie wynika z automatu, że
\(\displaystyle{ (*)}\) Przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ T_3 \Rightarrow}\) Przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ T_1}\).
Czego nie rozumiem? Gdzie tu jest błąd?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16866
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2837 razy

Re: Aksjomaty oddzielania i wynikanie - czegoś nie rozumiem

Post autor: a4karo » 17 cze 2019, o 20:40

Oczywiście \(\displaystyle{ T_3}\) implikuje \(\displaystyle{ T_2}\). Pytanie, czy skoro \(\displaystyle{ T_3=T_1+\text{ reszta}}\), to czy \(\displaystyle{ \text{reszta}}\) implikuje \(\displaystyle{ T_2}\)

Awatar użytkownika
Zaratustra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 143
Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Aksjomaty oddzielania i wynikanie - czegoś nie rozumiem

Post autor: Zaratustra » 17 cze 2019, o 21:53

Mmmm... rozumiem - jest to logiczne. Szukam w notatkach tego dowodu, żeby mu się przyjrzeć, gdzie z tego założenia o spełnianiu \(\displaystyle{ T_1}\) się korzysta przy przejściu \(\displaystyle{ T_3\Rightarrow T_2}\).
Byłem przekonany, że gdzieś to robiliśmy i właśnie tam tego \(\displaystyle{ T_1}\) nie widziałem w użyciu ale znaleźć nie mogę.

Ale chyba odkryłem źródło problemu - na ćwiczeniach i na wykładzie jest trochę inna definicja przestrzeni \(\displaystyle{ T_3}\). Tzn. jedna utożsamia \(\displaystyle{ T_3}\) z przestrzenią "regularną" a w drugim "regularna" to jest taka, która spełnia rzeczoną \(\displaystyle{ \text{resztę}}\) PLUS aksjomat \(\displaystyle{ T_1}\).... O_o

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8526
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1781 razy

Re: Aksjomaty oddzielania i wynikanie - czegoś nie rozumiem

Post autor: Dasio11 » 17 cze 2019, o 22:22

Ten dowód jest taki: jeśli przestrzeń jest \(\displaystyle{ T3}\), to każda para \(\displaystyle{ \left<}\)zbiór domknięty, punkt spoza tego zbioru\(\displaystyle{ \left. \right>}\) oddziela się zbiorami otwartymi. Ponadto wtedy przestrzeń jest \(\displaystyle{ T1}\), więc każdy singleton jest domknięty, zatem w szczególności każda para różnych punktów oddziela się zbiorami otwartymi.

Awatar użytkownika
Zaratustra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 143
Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Aksjomaty oddzielania i wynikanie - czegoś nie rozumiem

Post autor: Zaratustra » 17 cze 2019, o 22:26

Dzięki wielkie! ^^

ODPOWIEDZ