Matematyka.pl

Czy zbiór \(\displaystyle{ A=\{f \in C[0, 1]: f(0) = 1 \}}\) jest otwarty lub domknięty w \(\displaystyle{ \left( C[0, 1], d_{\sup }\right)}\)? Proszę o kilka rad jak do tego typu zadań podejść.

Odnośnie domkniętości, zauważ, że funkcja \(\displaystyle{ \xi:C[0,1]\rightarrow \RR}\) o wzorze \(\displaystyle{ \xi(f):=f(0)}\) jest ciągła.

Nie wiem w czym mi to ma pomóc.

Przeciwobraz zbioru domkniętego przez funkcję ciągłą ...

A odnośnie otwartości, rozważ ciąg \(\displaystyle{ (f_n)}\) elementów \(\displaystyle{ C[0,1]}\) zadanych wzorem \(\displaystyle{ f_n(x)=1-\frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ x\in[0,1],n\in\NN}\).

Nie wiem co mi ten ciąg daje.

Jest to ciąg elementów z dopełnienia zbioru \(\displaystyle{ A}\), natomiast jego granica (w metryce supremum) należy do \(\displaystyle{ A}\).

Czyli to nie jest otwarte?

Domkniętość nie ma wpływu na otwartość, te pojęcie nie mają ze sobą takiego związku i trzeba je rozpatrzeć osobno

\(\displaystyle{ A}\) jest domknięty
Można jeszcze inaczej pokazać domkniętość tego zbioru tzn. z definicji, pokazać że dopełnienie \(\displaystyle{ A}\) jest otwarte, weźmy dowolną funkcję \(\displaystyle{ g \not\in A}\) Wtedy \(\displaystyle{ g(0) \neq 0}\), skoro tak to \(\displaystyle{ \left| g(0)-1\right| = r >0}\)
Weźmy teraz kulę \(\displaystyle{ B(g,r)}\) wtedy dla \(\displaystyle{ h \in B(g,r)}\) mamy \(\displaystyle{ h(0) \neq 1}\) Zatem A jest domknięty(choć pierwsze rozwiązanie matmatmm jest subtelniejsze).


Edit: Napisałem ciężką bzdurę co do otwartości, zmazuję to czym prędzej

Powinno być \(\displaystyle{ g(0) \neq 1}\)