Zbadaj otwartość zbioru

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Zetorq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 mar 2019, o 11:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz

Zbadaj otwartość zbioru

Post autor: Zetorq » 13 cze 2019, o 20:11

Czy zbiór \(\displaystyle{ A=\{f \in C[0, 1]: f(0) = 1 \}}\) jest otwarty lub domknięty w \(\displaystyle{ \left( C[0, 1], d_{\sup }\right)}\)? Proszę o kilka rad jak do tego typu zadań podejść.
Ostatnio zmieniony 13 cze 2019, o 20:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1752
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 239 razy

Re: Zbadaj otwartość zbioru

Post autor: matmatmm » 13 cze 2019, o 21:42

Odnośnie domkniętości, zauważ, że funkcja \(\displaystyle{ \xi:C[0,1]\rightarrow \RR}\) o wzorze \(\displaystyle{ \xi(f):=f(0)}\) jest ciągła.

Zetorq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 mar 2019, o 11:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz

Re: Zbadaj otwartość zbioru

Post autor: Zetorq » 13 cze 2019, o 21:47

Nie wiem w czym mi to ma pomóc.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1752
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 239 razy

Re: Zbadaj otwartość zbioru

Post autor: matmatmm » 13 cze 2019, o 21:50

Przeciwobraz zbioru domkniętego przez funkcję ciągłą ...

A odnośnie otwartości, rozważ ciąg \(\displaystyle{ (f_n)}\) elementów \(\displaystyle{ C[0,1]}\) zadanych wzorem \(\displaystyle{ f_n(x)=1-\frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ x\in[0,1],n\in\NN}\).

Zetorq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 mar 2019, o 11:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz

Re: Zbadaj otwartość zbioru

Post autor: Zetorq » 13 cze 2019, o 22:08

Nie wiem co mi ten ciąg daje.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1752
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 239 razy

Re: Zbadaj otwartość zbioru

Post autor: matmatmm » 13 cze 2019, o 22:31

Jest to ciąg elementów z dopełnienia zbioru \(\displaystyle{ A}\), natomiast jego granica (w metryce supremum) należy do \(\displaystyle{ A}\).

Zetorq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 mar 2019, o 11:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz

Re: Zbadaj otwartość zbioru

Post autor: Zetorq » 13 cze 2019, o 22:39

Czyli to nie jest otwarte?

Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 461
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 76 razy

Re: Zbadaj otwartość zbioru

Post autor: Rafsaf » 13 cze 2019, o 22:48

Domkniętość nie ma wpływu na otwartość, te pojęcie nie mają ze sobą takiego związku i trzeba je rozpatrzeć osobno

\(\displaystyle{ A}\) jest domknięty
Można jeszcze inaczej pokazać domkniętość tego zbioru tzn. z definicji, pokazać że dopełnienie \(\displaystyle{ A}\) jest otwarte, weźmy dowolną funkcję \(\displaystyle{ g \not\in A}\) Wtedy \(\displaystyle{ g(0) \neq 0}\), skoro tak to \(\displaystyle{ \left| g(0)-1\right| = r >0}\)
Weźmy teraz kulę \(\displaystyle{ B(g,r)}\) wtedy dla \(\displaystyle{ h \in B(g,r)}\) mamy \(\displaystyle{ h(0) \neq 1}\) Zatem A jest domknięty(choć pierwsze rozwiązanie matmatmm jest subtelniejsze).


Edit: Napisałem ciężką bzdurę co do otwartości, zmazuję to czym prędzej

Zetorq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 mar 2019, o 11:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz

Re: Zbadaj otwartość zbioru

Post autor: Zetorq » 13 cze 2019, o 22:59

Powinno być \(\displaystyle{ g(0) \neq 1}\)

ODPOWIEDZ