Matematyka.pl

Witam Za tydzień mam ustną poprawę egzaminu z topologii. Kilku zadań nie przerobiliśmy na zajęciach i bardzo bym prosiła o rozwiązania.

1. Dlaczego przestrzeń lokalnie ośrodkowa, spójna oraz metryczna jest ośrodkowa?

2.1 Kiedy przestrzeń Hausdorffa \(\displaystyle{ X}\)można przekształcić wzajemnie jednoznacznie na przestrzeń Hausdorffa o ciężarze \(\displaystyle{ \le nw(X)}\) ?

2.2 Czy przestrzeń zwarta Hausdorffa \(\displaystyle{ Y}\) może być ciągłym obrazem przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\) takiej, że \(\displaystyle{ w(X)<w(Y)}\)?

3. Czy przestrzeń przeliczalnych liczb porządkowych \(\displaystyle{ [0,w_1)}\) jest dziedzicznie zwarta?

4. Czy przestrzeń w której ultrafiltry są zbieżne jest zwarta?

5. Oszacuj przestrzeń zwartej mocy Hausdorffa przy pomocy charakteru.

6. Oblicz gęstość produktu \(\displaystyle{ D(m)^{2^m}}\), gdzie \(\displaystyle{ D(m)}\) jest przestrzenią dyskretną mocy m.

7. W jakim zakresie aksjomat wyboru musi być użyty w dowodzie twierdzenia Tichonowa, bądź lematu Alexandera?

Corinek pisze: 1. Dlaczego przestrzeń lokalnie ośrodkowa, spójna oraz metryczna jest ośrodkowa?

To twierdzenie jest nietrywialne. Dowód składa się z kilku kroków. Załóżmy, że \(\displaystyle{ (X,\rho)}\) jest przestrzenią metryczną, spójną oraz lokalnie ośrodkową.

Określamy relację \(\displaystyle{ R\subseteq X\times X}\)

\(\displaystyle{ pRq:\iff \exists_{\alpha\in\QQ^{+}}\left(\rho(p,q)<\alpha \wedge \text{ podprzestrzenie } K(p,\alpha), K(q,\alpha) \text{ są ośrodkowe}\right)}\)

oraz odwzorowanie \(\displaystyle{ T:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)}\)

\(\displaystyle{ T(E):=\{q\in X:\exists_{p\in E}\left( pRq\right) \}}\)

\(\displaystyle{ n}\)-krotne złożenie odwzorowania \(\displaystyle{ T}\) oznaczamy \(\displaystyle{ T^n}\).

Dowodzimy kolejno, że

1) Jeśli \(\displaystyle{ pRq}\), to istnieje \(\displaystyle{ \beta\in\QQ^{+}}\) takie, że dla każdego \(\displaystyle{ r\in K(q,\beta)}\) jest \(\displaystyle{ pRr}\).

2) Dla każdego \(\displaystyle{ E\subseteq X}\), \(\displaystyle{ T(E)}\) jest otwarty.

3) Dla każdych \(\displaystyle{ E,S\subseteq X}\) jeśli \(\displaystyle{ S\subseteq E\subseteq \mathrm{cl}S}\), to \(\displaystyle{ T(S)=T(E)}\)

4) Jeśli \(\displaystyle{ E}\) jest podprzestrzenią ośrodkową, to \(\displaystyle{ T(E)}\) także.

5) Dla każdego \(\displaystyle{ p\in X}\) zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}T^n(\{p\})}\) jest otwarto-domknięty.

6. 422621.htm