Matematyka.pl

Jak pokazać, że zbiór pusty oraz cała przestrzeń należy do topologii strzałki?

\(\displaystyle{ X=\RR, \ \ \beta :=\left\{ \langle x,q):x<q,x \in \RR, q \in \QQ\right\}}\)

Po pierwsze warto zauważyć, że zbiór \(\displaystyle{ \beta}\) to nie topologia strzałki, tylko jej baza.

Po drugie, z czym masz problem?

JK

Nie napisałem nigdzie, że \(\displaystyle{ \beta}\) to topologia, ale również nie napisałem, że jest to baza.
Mam problem z przecięciem, nie wiem czy mogę przecinać nieskończenie wiele zbiorów z \(\displaystyle{ \beta}\).

Możesz (tj. jak najbardziej istnieje taki przekrój), ale nie ma powodu, byś dostał wtedy zbiór otwarty.
BTW nie wiem, po co Ci przekrój nieskończenie wielu zbiorów.
\(\displaystyle{ \varnothing=\left\langle 0, 1\right) \cap\left\langle 1,2\right)}\)

Benny01 pisze:Nie napisałem nigdzie, że \(\displaystyle{ \beta}\) to topologia, ale również nie napisałem, że jest to baza.
Mam problem z przecięciem, nie wiem czy mogę przecinać nieskończenie wiele zbiorów z \(\displaystyle{ \beta}\).

Skoro \(\displaystyle{ \beta}\) nie jest niczym to o czym piszesz?

Benny01 pisze:Mam problem z przecięciem, nie wiem czy mogę przecinać nieskończenie wiele zbiorów z \(\displaystyle{ \beta}\).

Mógłbyś trochę precyzyjniej formułować myśli, bo nie bardzo wiadomo, na czym polega problem, tzn. w jakim celu chcesz przecinać.

JK

Dzięki Premislav.
Czy całą przestrzeń otrzymam w ten sposób?
\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{ \infty }\langle-n,n)}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ \beta}\) jest bazą, źle sformułowałem zdanie.

Benny01 pisze:Czy całą przestrzeń otrzymam w ten sposób?
\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{ \infty }\langle-n,n)}\)

Tak.

Benny01 pisze:Jak pokazać, że zbiór pusty oraz cała przestrzeń należy do topologii strzałki?

Dowód:
Zauważmy że topologia strzałki w szczególności jest topologią. Stąd z aksjomatu(zwyczajowo pierwszego, są dwa inne) o tym że zbiór pusty i cała przestrzeń należą do każdej topologii, mamy tezę. Koniec.

Nawet po uwzględnieniu wszystkiego wyżej o bazach itd, cały czas rozmawiamy o topologii, skoro aksjomat gwarantuje nam że przestrzeń i zbiór pusty w niej jest, nie widzę potrzeby a nawet sensu sprawdzania że tak rzeczywiście jest przy pomocy pozostałych dwóch aksjomatów oraz tego jak wygląda jakaś baza w tej topologii, bo to jest błędne koło. Przecież rozmawiamy o bazie topologii tylko dlatego, że ta rodzina zbiorów spełnia ten aksjomat...

Niekoniecznie, też w pierwszej chwili tak chciałem napisać, Rafsaf, ale wydaje mi się, że to typowa niezręczność (co najmniej) w sformułowaniu zadania (choć literalnie masz rację). To zadanie ma jakiś sens tylko w takim wydaniu: jest sobie rodzina zbiorów \(\displaystyle{ \beta :=\left\{ \langle x,q):x<q,x \in \RR, q \in \QQ\right\}}\) i pokazujemy, że generuje ona topologię (stanowi bazę tejże topologii) na \(\displaystyle{ \RR}\).
W szczególności pokazujemy, że możemy uzyskać \(\displaystyle{ \varnothing}\) oraz całą \(\displaystyle{ \RR}\) bądź to w postaci sumy zbiorów ze wskazanej rodziny, bądź to w postaci skończonego przekroju takich zbiorów.

Rafsaf pisze:Zauważmy że topologia strzałki w szczególności jest topologią. Stąd z aksjomatu(zwyczajowo pierwszego, są dwa inne) o tym że zbiór pusty i cała przestrzeń należą do każdej topologii, mamy tezę. Koniec.

Nawet po uwzględnieniu wszystkiego wyżej o bazach itd, cały czas rozmawiamy o topologii, skoro aksjomat gwarantuje nam że przestrzeń i zbiór pusty w niej jest, nie widzę potrzeby a nawet sensu sprawdzania że tak rzeczywiście jest przy pomocy pozostałych dwóch aksjomatów oraz tego jak wygląda jakaś baza w tej topologii, bo to jest błędne koło. Przecież rozmawiamy o bazie topologii tylko dlatego, że ta rodzina zbiorów spełnia ten aksjomat...

Chyba nie zrozumiałeś sytuacji (choć sformułowanie Benny01 nie pomaga).

Zapewne chodzi o to, że masz sprawdzić, iż rodzina \(\displaystyle{ \beta}\) spełnia warunki bycia bazą topologii, czyli masz sprawdzić, że rodzina wszystkich sum podzbiorów \(\displaystyle{ \beta}\) spełnia warunki topologii.

JK

OK, rozumiem.

Z tymże to wygląda bardziej na niedbałe/bez zastanowienia napisane przez autora polecenie aniżeli dokładne przepisanie zadania z "niezręcznie" sformułowaną treścią choćby dlatego że treści tutaj właściwie nie ma, jest samodzielnie wymyślone pytanie i literki, cyferki z przykładu

Premislav pisze:jest sobie rodzina zbiorów \(\displaystyle{ \beta :=\left\{ \langle x,q):x<q,x \in \RR, q \in \QQ\right\}}\) i pokazujemy, że generuje ona topologię (stanowi bazę tejże topologii) na \(\displaystyle{ \RR}\).
W szczególności pokazujemy, że możemy uzyskać \(\displaystyle{ \varnothing}\) oraz całą \(\displaystyle{ \RR}\) bądź to w postaci sumy zbiorów ze wskazanej rodziny, bądź to w postaci skończonego przekroju takich zbiorów.

Przekroju nie wolno brać, chyba że traktujemy \(\displaystyle{ \beta}\) jako podbazę - ale wtedy nie ma czego sprawdzać, bo dowolna rodzina podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) jest podbazą pewnej topologii na \(\displaystyle{ X}\).

A rzeczywiście, my bad. Dzięki za wychwycenie tego.

Zbiór pusty otrzymujemy jako sumę pustej podrodziny \(\displaystyle{ \beta}\).

JK