Topologia strzałki

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1100
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 114 razy

Topologia strzałki

Post autor: Benny01 » 8 cze 2019, o 13:54

Jak pokazać, że zbiór pusty oraz cała przestrzeń należy do topologii strzałki?

\(\displaystyle{ X=\RR, \ \ \beta :=\left\{ \langle x,q):x<q,x \in \RR, q \in \QQ\right\}}\)
Ostatnio zmieniony 8 cze 2019, o 14:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25152
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4193 razy

Re: Topologia strzałki

Post autor: Jan Kraszewski » 8 cze 2019, o 14:09

Po pierwsze warto zauważyć, że zbiór \(\displaystyle{ \beta}\) to nie topologia strzałki, tylko jej baza.

Po drugie, z czym masz problem?

JK

Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1100
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 114 razy

Re: Topologia strzałki

Post autor: Benny01 » 8 cze 2019, o 14:20

Nie napisałem nigdzie, że \(\displaystyle{ \beta}\) to topologia, ale również nie napisałem, że jest to baza.
Mam problem z przecięciem, nie wiem czy mogę przecinać nieskończenie wiele zbiorów z \(\displaystyle{ \beta}\).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14221
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 67 razy
Pomógł: 4662 razy

Re: Topologia strzałki

Post autor: Premislav » 8 cze 2019, o 14:22

Możesz (tj. jak najbardziej istnieje taki przekrój), ale nie ma powodu, byś dostał wtedy zbiór otwarty.
BTW nie wiem, po co Ci przekrój nieskończenie wielu zbiorów.
\(\displaystyle{ \varnothing=\left\langle 0, 1\right) \cap\left\langle 1,2\right)}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16866
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2837 razy

Re: Topologia strzałki

Post autor: a4karo » 8 cze 2019, o 14:24

Benny01 pisze:Nie napisałem nigdzie, że \(\displaystyle{ \beta}\) to topologia, ale również nie napisałem, że jest to baza.
Mam problem z przecięciem, nie wiem czy mogę przecinać nieskończenie wiele zbiorów z \(\displaystyle{ \beta}\).
Skoro \(\displaystyle{ \beta}\) nie jest niczym to o czym piszesz?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25152
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4193 razy

Re: Topologia strzałki

Post autor: Jan Kraszewski » 8 cze 2019, o 14:26

Benny01 pisze:Mam problem z przecięciem, nie wiem czy mogę przecinać nieskończenie wiele zbiorów z \(\displaystyle{ \beta}\).
Mógłbyś trochę precyzyjniej formułować myśli, bo nie bardzo wiadomo, na czym polega problem, tzn. w jakim celu chcesz przecinać.

JK

Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1100
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 114 razy

Re: Topologia strzałki

Post autor: Benny01 » 8 cze 2019, o 14:32

Dzięki Premislav.
Czy całą przestrzeń otrzymam w ten sposób?
\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{ \infty }\langle-n,n)}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ \beta}\) jest bazą, źle sformułowałem zdanie.
Ostatnio zmieniony 8 cze 2019, o 14:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14221
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 67 razy
Pomógł: 4662 razy

Re: Topologia strzałki

Post autor: Premislav » 8 cze 2019, o 14:33

Benny01 pisze:Czy całą przestrzeń otrzymam w ten sposób?
\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{ \infty }\langle-n,n)}\)
Tak.

Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 461
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 76 razy

Topologia strzałki

Post autor: Rafsaf » 8 cze 2019, o 15:30

Benny01 pisze:Jak pokazać, że zbiór pusty oraz cała przestrzeń należy do topologii strzałki?
Dowód:
Zauważmy że topologia strzałki w szczególności jest topologią. Stąd z aksjomatu(zwyczajowo pierwszego, są dwa inne) o tym że zbiór pusty i cała przestrzeń należą do każdej topologii, mamy tezę. Koniec.

Nawet po uwzględnieniu wszystkiego wyżej o bazach itd, cały czas rozmawiamy o topologii, skoro aksjomat gwarantuje nam że przestrzeń i zbiór pusty w niej jest, nie widzę potrzeby a nawet sensu sprawdzania że tak rzeczywiście jest przy pomocy pozostałych dwóch aksjomatów oraz tego jak wygląda jakaś baza w tej topologii, bo to jest błędne koło. Przecież rozmawiamy o bazie topologii tylko dlatego, że ta rodzina zbiorów spełnia ten aksjomat...

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14221
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 67 razy
Pomógł: 4662 razy

Re: Topologia strzałki

Post autor: Premislav » 8 cze 2019, o 15:39

Niekoniecznie, też w pierwszej chwili tak chciałem napisać, Rafsaf, ale wydaje mi się, że to typowa niezręczność (co najmniej) w sformułowaniu zadania (choć literalnie masz rację). To zadanie ma jakiś sens tylko w takim wydaniu: jest sobie rodzina zbiorów \(\displaystyle{ \beta :=\left\{ \langle x,q):x<q,x \in \RR, q \in \QQ\right\}}\) i pokazujemy, że generuje ona topologię (stanowi bazę tejże topologii) na \(\displaystyle{ \RR}\).
W szczególności pokazujemy, że możemy uzyskać \(\displaystyle{ \varnothing}\) oraz całą \(\displaystyle{ \RR}\) bądź to w postaci sumy zbiorów ze wskazanej rodziny, bądź to w postaci skończonego przekroju takich zbiorów.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25152
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4193 razy

Topologia strzałki

Post autor: Jan Kraszewski » 8 cze 2019, o 15:53

Rafsaf pisze:Zauważmy że topologia strzałki w szczególności jest topologią. Stąd z aksjomatu(zwyczajowo pierwszego, są dwa inne) o tym że zbiór pusty i cała przestrzeń należą do każdej topologii, mamy tezę. Koniec.

Nawet po uwzględnieniu wszystkiego wyżej o bazach itd, cały czas rozmawiamy o topologii, skoro aksjomat gwarantuje nam że przestrzeń i zbiór pusty w niej jest, nie widzę potrzeby a nawet sensu sprawdzania że tak rzeczywiście jest przy pomocy pozostałych dwóch aksjomatów oraz tego jak wygląda jakaś baza w tej topologii, bo to jest błędne koło. Przecież rozmawiamy o bazie topologii tylko dlatego, że ta rodzina zbiorów spełnia ten aksjomat...
Chyba nie zrozumiałeś sytuacji (choć sformułowanie Benny01 nie pomaga).

Zapewne chodzi o to, że masz sprawdzić, iż rodzina \(\displaystyle{ \beta}\) spełnia warunki bycia bazą topologii, czyli masz sprawdzić, że rodzina wszystkich sum podzbiorów \(\displaystyle{ \beta}\) spełnia warunki topologii.

JK

Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 461
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 76 razy

Re: Topologia strzałki

Post autor: Rafsaf » 8 cze 2019, o 18:02

OK, rozumiem.

Z tymże to wygląda bardziej na niedbałe/bez zastanowienia napisane przez autora polecenie aniżeli dokładne przepisanie zadania z "niezręcznie" sformułowaną treścią choćby dlatego że treści tutaj właściwie nie ma, jest samodzielnie wymyślone pytanie i literki, cyferki z przykładu

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8526
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1781 razy

Re: Topologia strzałki

Post autor: Dasio11 » 8 cze 2019, o 18:46

Premislav pisze:jest sobie rodzina zbiorów \(\displaystyle{ \beta :=\left\{ \langle x,q):x<q,x \in \RR, q \in \QQ\right\}}\) i pokazujemy, że generuje ona topologię (stanowi bazę tejże topologii) na \(\displaystyle{ \RR}\).
W szczególności pokazujemy, że możemy uzyskać \(\displaystyle{ \varnothing}\) oraz całą \(\displaystyle{ \RR}\) bądź to w postaci sumy zbiorów ze wskazanej rodziny, bądź to w postaci skończonego przekroju takich zbiorów.
Przekroju nie wolno brać, chyba że traktujemy \(\displaystyle{ \beta}\) jako podbazę - ale wtedy nie ma czego sprawdzać, bo dowolna rodzina podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) jest podbazą pewnej topologii na \(\displaystyle{ X}\).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14221
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 67 razy
Pomógł: 4662 razy

Re: Topologia strzałki

Post autor: Premislav » 8 cze 2019, o 19:29

A rzeczywiście, my bad. Dzięki za wychwycenie tego.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25152
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4193 razy

Re: Topologia strzałki

Post autor: Jan Kraszewski » 8 cze 2019, o 19:55

Zbiór pusty otrzymujemy jako sumę pustej podrodziny \(\displaystyle{ \beta}\).

JK

ODPOWIEDZ